数值分析课后习题详解及误差分析

本资源是关于数值分析课程的课后答案，由钟尔杰和黄廷祝两位作者编著，高等教育出版社出版。以下是部分内容的详细解析： 1. 误差分析 - 第一题探讨了当x的相对误差限为δ时，对自然对数lnx的误差的计算。通过求导并应用误差传播定律，我们得知误差e(lnx)等于|x–x*|乘以lnx在某个ξ处的导数，即大约等于δ乘以lnx的导数。另一个解决方案则是利用对数的性质来估计误差，同样得出结论。 2. 绝对误差限 - 对于近似值x=–2.18和y=2.1200，题目要求找出它们的绝对误差限ε(x)和ε(y)。由于它们是四舍五入得到的，根据精度，ε(x)被限制在0.005以内，ε(y)更精确，为0.00005。 3. 有效数字 - 举例说明了绝对误差限为0.005的三个近似值x1, x2, x3的有效数字位数。x1有三位有效数字，因为误差限不超过小数点后第二位；x2为一位有效数字，因为误差限制了它的小数部分；而x3只有零位有效数字，因为它接近于零。 4. 相对误差限与有效数字的关系 - 如果一个近似数x有两位有效数字，那么其相对误差限被规定为|er(x)|≤5×10^(-2)，这意味着误差不会超过该范围。 5. 递推序列误差分析 - 计算序列yn的误差与初始值y0=28和近似分数27.982的关系。误差在每一步会按照δ/100的速率积累，最终得出计算y100的误差界。 6. 方程求根及有效数字精度 - 最后一个问题涉及方程x^2–56x+1=0的根，并要求这些根具有四位有效数字。这涉及到数值方法，如牛顿迭代法或二分法，需要精确到一定程度来确保结果的有效性。 这个数值分析课后答案提供了对基本概念如误差分析、有效数字以及数值逼近方法的深入理解，对于学习者理解和掌握数值分析方法和技术具有重要的参考价值。