复变函数基础：解析函数与积分性质

这篇资料主要涵盖了复变函数的复习要点，包括复数的概念、运算、复变函数、解析函数以及复变函数积分的概念和性质。以下是详细的解析： 1. 复数概念： 复数由实部和虚部组成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i² = -1。复数的大小（模）由公式|z| = √(a² + b²)计算，而幅角（arg z）表示复数在复平面上与正x轴的夹角。 2. 复数的表示与运算： 复数可以用极坐标形式r(cosθ + i sinθ)或者指数形式re^(iθ)来表示，其中r是模，θ是幅角。复数的加减法直接对应实部和虚部相加减，乘除法则涉及到共轭复数。 3. 复变函数： 复变函数是从复平面到复平面的映射，它将一个点集映射到另一个点集。例如，指数函数e^z在复平面上处处可导，处处解析，且具有周期性。 4. 复初等函数： - 指数函数e^z在整个复平面上解析，是周期函数。 - 对数函数ln(z)是多值函数，其主值ln|z| + i arg(z)在去除原点和负实轴的平面内是解析的。 - 幂函数z^n在去除零点和负实轴的平面内解析。 - 三角函数sin(z)和cos(z)在复平面上解析，但它们不再是有界的。 - 双曲函数sinh(z)和cosh(z)在全平面上解析，且sinh(z)是奇函数，cosh(z)是偶函数。 5. 解析函数： - 函数在某点可导意味着在该点附近存在导数，而在区域可导意味着每个点都可导。 - 解析函数是指在某区域内不仅可导，而且满足Cauchy-Riemann条件。 - 奇点是函数不解析的点，如无穷大或某些特定的复数。 6. 解析函数的运算法则： 解析函数的线性组合、乘积、商（分母不为零）以及复合函数仍然是解析的。 7. 函数可导与解析的充要条件： - 函数在某点可导的充要条件是满足导数定义，并且在该点附近可微。 - 函数在区域解析的充要条件是在该区域内可微且满足Cauchy-Riemann条件。 8. 复变函数积分： - 复变函数的积分是沿光滑曲线的线积分，与路径无关，这称为柯西积分定理。 - 积分的性质表明，积分的值只取决于起点和终点，而不依赖于具体的路径。 这些内容构成了复变函数的基础理论，是理解和应用复变函数的关键。掌握这些知识点对于解决复数领域的各种问题至关重要。