耦合非线性Schrödinger-KdV系统基态解的变分存在性研究

本文探讨了"Ground state solutions for a coupled nonlinear Schrödinger-KdV system"这一主题，由毕文静和唐春雷两位学者合作完成，他们来自中国西南大学数学与统计学院，位于重庆市。研究的焦点是解决一类耦合非线性Schrödinger-KdV系统的基态解问题，该系统由两个方程组成： 1. 对于函数u在三维欧几里得空间RN上，满足以下方程： $$-\Delta u + \lambda_1 u = u^3 - \beta uv$$ 其中，λ1是常数，且u属于H1(RN)空间，这是一个关于u的高阶 Sobolev 空间，它包含了弱解的概念。 2. 对于函数v，其方程同样在RN上，具有形式： $$-\Delta v + \lambda_2 v = \frac{1}{2}|v|v - \frac{\beta}{2}u^2$$ λ2也是一个常数，v也在H1(RN)内。 研究的主要目的是确定当N等于1、2或3时，这种耦合系统的非平凡基态解是否存在。为了达到这个目标，作者们运用了变分方法，这是一种在数学物理中广泛应用的求解偏微分方程中的极值问题的方法，特别是对于寻找能量最小解或基态解。 此外，文章还采用了Nehari流形，这是一个在非线性泛函分析中重要的概念，它与变分问题中的临界点搜索密切相关。通过结合这些分析技巧，作者们能够有效地讨论耦合参数的范围，并最终得出系统存在基态解的结论。 文中还提到了国家自然科学基金（No.11971393）的支持，这表明这项研究得到了国家层面科研项目的资助。毕文静作为主要作者，出生于1995年，显示出她在这个领域的活跃和潜力。 这篇论文的核心内容涉及偏微分方程理论，特别是Schrödinger-KdV系统，以及如何运用变分法和Nehari流形来证明此类系统的基态解的存在性。这对于理解复杂多体物理系统，如光子、水波等的稳定性与行为有着重要意义。