基于傅立叶展开的微分求积法：粘稠伯格斯方程数值解研究

本文探讨了"基于傅立叶展开基的微分求积法求解粘稠伯格斯方程的数值解"这一主题，发表在《应用数学》杂志上，2018年9月期。该研究关注的是如何有效地解决具有特定初始和边界条件的耦合粘性伯格斯方程。伯格斯方程是流体动力学中的一个经典模型，用于描述非线性对流现象，特别是在湍流理论中。 首先，作者采用了微分求积法（Differential Quadrature Method, DQM），这是一种数值积分技术，它将连续的微分方程转化为有限数量的代数方程。在这个案例中，他们利用傅立叶展开作为基础函数，这是一种解析方法，通过傅里叶级数将函数表示为正弦和余弦函数的组合，从而将复杂的偏微分方程转化为更易于处理的一维问题。 在离散化过程中，研究者将区间划分为有限的节点，然后利用傅立叶展开将原方程中的导数近似为这些节点上的函数值。这导致了一个常微分方程（ODE）系统的建立，这个系统可以直接由计算机程序进行求解。通过这种方法，他们能够在保证精度的同时，简化计算过程。 数值解的生成依赖于编程实现的数值方案，该方案的性能在实际问题上得到验证。作者通过对比数值实例，证明了新提出的数值方法的有效性，并且显示出其在某些情况下，即使在传统方法未覆盖的节点或网格点处也能提供准确的结果。这表明了基于傅立叶展开的微分求积法在处理复杂流动问题时具有较强的适应性和潜力。 此外，文章还深入分析了该方法的稳定性与收敛性，这是数值方法的重要特性。稳定的算法能够在迭代过程中保持解的稳定性，而收敛性则确保随着计算的细化，解会接近真值。结果显示，与现有文献中的数值方法相比，这种基于傅立叶展开的DQM在保证精度的同时，展现出更好的性能和效率。 这篇论文不仅介绍了新的数值求解策略，而且还提供了关于这种方法在处理耦合粘性伯格斯方程时的实用性和优势的详细分析，这对于数值流体力学、非线性动力学等领域的研究者来说，是一份有价值的技术参考。