统计学习基础：最小二乘法与QR分解解析

"这篇学习笔记主要探讨了最小二乘法在统计学习中的应用，包括了施密特正交化和QR分解等相关概念。作者通过解释《统计学习基础》中的内容，帮助读者理解多元线性回归模型及其估计方法。" 在统计学习中，最小二乘法是一种常用的数据拟合技术，尤其在处理线性模型时非常有效。当面临一个具有多个输入变量（p>1）的线性模型，即多重线性回归模型时，最小二乘法被用来寻找最佳的参数估计。这个模型通常形式为Y=Xβ+ε，其中Y是因变量，X是包含所有输入变量的矩阵，β是权重向量，ε是误差项。 在单变量回归（p=1）的情况下，最小二乘估计可以通过以下方式得到： 1. 预测值的计算：β^ = ∑(xiyi) / ∑(xi^2)，这里的β^是斜率的估计。 2. 残差的计算：ri = yi - xi * β^，残差表示实际观测值与预测值之间的差异。 为了更方便地处理多变量情况，可以采用向量表示。设y和x分别为观测值向量和自变量向量，那么向量内积定义为：⟨x,y⟩ = ∑(xiyi) = xTy。这种表示方式简化了计算过程，使得最小二乘估计可以扩展到高维空间。 施密特正交化是一种将一组非正交向量转化为一组正交向量的方法，这对于解决线性方程组或进行特征值分解等问题十分关键。在最小二乘法中，正交化可以帮助我们更好地理解和简化问题，特别是在存在多重共线性的情况下，即输入变量之间高度相关。 QR分解是另一种重要的数学工具，它是矩阵A的一种分解，A=QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。在最小二乘问题中，QR分解可以提供一种高效且数值稳定的解决方案。通过这种方法，可以将原始的线性回归问题转化为求解R的对角线元素，从而得到最小二乘估计。 在学习笔记中，作者引用了《统计学习基础》这本书的内容，并提供了个人解读和更新，帮助读者深入理解最小二乘法、施密特正交化和QR分解在统计学习中的应用。这些概念对于理解和应用机器学习模型，尤其是线性模型，具有至关重要的作用。