控制系统数学模型：传递函数的零极点分析

"第二章控制系统的数学模型，主要讲解如何确定传递函数的零点和极点，以及它们对系统性能的影响。内容包括时域模型、复域模型、线性化、传递函数、典型环节的传递函数、信号流图、结构图的化简，以及闭环和误差传递函数等。" 在自动控制领域，传递函数是描述系统动态特性的关键工具。它以复变量s为自变量，表示系统输出与输入之间的关系。确定传递函数的零点和极点对于分析系统的稳定性、响应速度和瞬态性能至关重要。 1. **传递函数的零点与极点** - 零点是传递函数分子中的根，位于s平面上，用“○”表示。当s取这些值时，传递函数的输出为零，它们影响系统的瞬态响应，尤其是输出信号的上升时间和超调量。 - 极点是传递函数分母中的根，用“×”表示，位于s平面上。它们决定了系统的自然频率和阻尼比，直接影响系统的稳定性和响应速度。 2. **零点与极点的计算** - 分解传递函数的分子和分母为因式之积，去除公因子，即可得到零点和极点。 - 零点和极点可能为实数或共轭复数，这会决定系统的振荡特性。 3. **复域模型与时域模型** - 时域模型通常通过微分方程来表示，适合直观理解物理过程，但处理起来复杂。 - 复域模型即传递函数，简化了分析过程，尤其对于稳定性判断和性能指标的评估。 4. **数学模型的转换** - 控制系统可能存在多种数学模型，如微分方程、传递函数和状态空间模型，它们之间可以相互转换。 - 线性化技术用于处理非线性系统，通常采用泰勒级数展开。 5. **典型环节的传递函数** - 学习典型环节的传递函数，如比例环节、积分环节、微分环节和惯性环节，有助于快速构建和分析复杂系统的模型。 6. **结构图与信号流图** - 结构图和梅逊公式用于描述和简化系统的连接关系，方便求解闭环系统的传递函数和误差传递函数。 7. **教学内容的安排** - 第一次课主要介绍时域模型，通过实例学习建模步骤，复习拉普拉斯变换，并讨论非线性系统的线性化。 - 第二次课深入复域模型，讲解传递函数的定义和性质，以及零极点对系统性能的影响。 学习这些内容，学生能够掌握控制系统的数学建模方法，理解不同模型的优缺点，并能运用这些知识分析和设计控制系统。同时，作业和预习任务强化了理论知识的应用和新内容的学习。