动态规划：最少奖章种数与最短路径算法详解

在给定的IT讲稿中，主要探讨了如何使用二分枚举法来解决动态规划问题，特别是在计算准备最少奖章种数的问题上。题目来自NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）的夏令营课程，涉及到了动态规划的基本概念和实际应用。 动态规划是一种算法设计技巧，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题，通过将大问题分解为小问题，并存储已解决的子问题的结果，避免重复计算，从而提高效率。在这个例子中，它被用来找到在给定奖章分布p数组中，最少需要准备多少种奖章，使得可以满足所有可能的组合分配。 首先，代码定义了一个名为`make`的函数，其中的关键步骤包括设置区间指针l和r，它们分别指向0和pmax+1-p[1]，这是奖章数量的范围。接着，通过while循环进行二分查找。在循环内部，计算中间值mid，如果检查函数`check(mid)`返回真，说明有解决方案，那么更新右边界为mid；否则，左边界左移一位。这个过程一直持续到区间缩小到只剩一个元素，即找到了最小的奖章种数。 举例来说，问题可能表现为：给定一组不同奖章的分布，比如p数组表示每个学生可能获得的奖牌类型及其数量，需要确定最少需要准备多少种奖牌才能满足所有可能的奖牌分配组合。递推关系式如`P(A)=min{P(B)+2,P(C)+3}`，展示了如何根据之前的子问题逐步求解整个问题。 同时，讲稿提到了动态规划在求解最短路径问题中的应用，如从起点P到终点A的最短路径问题。通过建立状态转移方程，从终点开始逐步向前推导，直至找到起点的最短路径。这里使用了一维或二维数组h来存储每个节点到目标节点的最短距离，这种数据结构有助于高效地处理复杂路径问题。 这个讲稿着重讲解了动态规划在实际问题中的应用，包括基本概念、基础题型以及如何通过二分枚举策略优化求解过程。理解动态规划的关键在于识别问题的最优子结构和重叠子问题，然后通过合适的数据结构和算法设计实现高效的求解。