LINDO与LINGO求解二次规划(QP)问题详解

"这篇资料是关于使用Lingo解决二次规划（QP）问题的教程介绍，由清华大学数学科学系的谢金星教授讲解。Lindo Systems公司的Lindo和Lingo软件被用于解决各种优化模型，包括线性规划、非线性规划、二次规划以及整数规划等。Lindo主要用于离散优化，而Lingo则更通用，支持更多的模型类型。教程中提到，对于QP和IP问题，敏感性分析的意义相对较小。在处理二次规划时，Lindo/Lingo要求将非线性表达式转换为线性形式，并且需要添加拉格朗日乘子来构建互补问题。此外，通过QCP命令指定实际约束的起始行来求解问题。" 二次规划（QP）问题在数学优化中占有重要地位，它涉及到目标函数是二次函数，约束条件可以是线性的。在Lindo和Lingo软件中，QP问题的求解需要特殊处理，因为软件不接受非线性表达式直接输入。用户需要按照软件的要求，将二次函数转换成标准线性形式，通常通过引入新的变量和等式约束来实现。 在Lingo中，解决QP问题的步骤包括： 1. 添加拉格朗日乘子：为每个实际约束引入一个对应的对偶变量（拉格朗日乘子），这是构建最优解的必要条件。 2. 构建一阶最优条件：在实际约束前加上相关变量的一阶导数，形成KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件），这有助于转化问题为互补问题。 3. 使用QCP命令：在"END"之后，指定实际约束开始的行号，告诉软件接下来的部分是用于描述二次规划问题的。 4. 求解过程：Lingo的内部算法会处理这些信息，利用线性优化求解程序和非线性优化求解程序逐步逼近问题的最优解。 Lindo和Lingo软件提供多种版本以适应不同的需求，如演示版、学生版、高级版等，不同版本的区别在于能够解决的问题规模和包含的附加功能。它们采用的求解策略包括预处理、线性优化、非线性优化以及分枝定界方法，确保对各种类型的优化模型进行有效求解。 在实际应用中，比如数学建模或工程优化，掌握如何利用Lingo这类工具处理QP问题是非常有价值的。用户不仅可以解决纯粹的连续优化问题，还可以处理包含整数约束的混合优化问题。然而，对于QP和IP问题，由于整数约束的存在，敏感性分析可能不如连续问题那样有明显的意义，因为整数解的唯一性和离散性可能导致局部最优解的多样性。 Lingo作为一款强大的优化工具，能够帮助用户解决复杂的二次规划问题，通过适当的模型转换和软件接口的正确使用，可以有效地找到问题的最优解。同时，了解软件的内在工作原理和限制，对于高效利用Lingo解决实际问题至关重要。