MATLAB回归与内插：多项式拟合与最小二乘法实例

本资源是一份由郭彦甫教授编写的MATLAB教学课件，标题为"14Curve_Fitting_&_Interpolation.pdf"，主要针对工程领域中的回归与内插技术进行讲解。课程内容包括多项式曲线拟合、多元回归以及插值方法。在课程的第十三课中，教授首先介绍了简单线性回归的基本概念，即通过收集大量的数据点（\( x_i, y_i \)）来研究两个变量之间的线性关系，假设\( y \)是\( x \)的一次函数。 线性回归模型以\( y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i \)的形式给出，其中\( \beta_0 \)和\( \beta_1 \)是待求参数，\( \epsilon_i \)是随机误差项。为了度量模型的好坏，课程引入了残差平方和（\( SSE \)），它是所有误差项平方的和，表示为\( SSE = \sum_{i=1}^{N} (\epsilon_i)^2 = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \)。优化目标是找到使\( SSE \)最小化的参数组合。 教授进一步解释了如何通过最小化残差平方和来求解这个问题。当关于每个参数的梯度（\( \frac{\partial SSE}{\partial \beta_0} \)和\( \frac{\partial SSE}{\partial \beta_1} \)）等于零时，达到最小化。具体来说，这会得到以下两个方程： 1. \( -2\sum_{i=1}^{N} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)) = 0 \) 2. \( -2\sum_{i=1}^{N} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))x_i = 0 \) 解决这些方程组可以找到最佳的\( \beta_0 \)和\( \beta_1 \)值。在这个过程中，课程还讨论了当数据点足够多（\( N \)个）时，如何利用矩阵运算简化计算，如将所有数据点的\( y \)值乘以\( x_i \)和\( x_i^2 \)分别累加，从而得出线性回归系数的表达式： \[ \beta_0 = \frac{\sum_{i=1}^{N} y_i x_i}{\sum_{i=1}^{N} x_i^2} \] \[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (y_i - \beta_0 x_i)}{\sum_{i=1}^{N} x_i^2} \] 此外，课程还涵盖了多项式曲线拟合，它涉及到对多项式函数（例如二次、三次等）的参数估计，以及在数据密集区提供更精确的预测。对于插值部分，课程可能会探讨不同的插值方法，如线性插值、多项式插值和样条插值，它们在数据缺失或需要光滑连续函数的情况下非常有用。 总结起来，这份文档深入浅出地介绍了MATLAB在工程中应用回归分析和插值技术的具体方法，适合学习者掌握线性回归模型的建立、求解过程以及高级插值技术的实现，尤其对从事数据分析和数值计算的工程师和技术人员具有实际价值。