2020春季概率论期末考：醉酒快递员与随机配送

"2020年春季概率论与数理统计期末考试" 该期末考试主要涵盖概率论与数理统计的知识点，包括随机事件、概率分布、统计推断以及假设检验等内容。以下是对各题的详细分析： 1. 题目涉及到的是一个离散型随机变量的概率问题。快递员随机分配快递，可以看作是二项分布模型。其中，成功的定义是客户收到自己的快递，失败则是收到其他人的快递。快递总数为100，每个事件的成功概率为1/100，因为每个快递只有1%的可能性被正确送达。 (a) 没有客户正确收到自己快递的概率是所有快递都被错误分配的概率，即(1 - 1/100)^100。 (b) 恰好有k个客户收到自己快递的概率可以使用二项分布的公式计算，即P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n=100，p=1/100。 (c) 快递员的损失可以通过求平均错派次数来计算，也就是数学期望E = np，其中n=100，p=1- (1-1/100)^100。然后乘以每次错误的罚款2元。 2. 这是一道关于二维随机变量及其密度函数的问题，涉及球对称分布和极坐标变换。 (a) 由于f(x, y)是对称的，可以根据球对称性质得出R的边缘密度函数，即f_R(R) = ∫_0_2π f(x, y) dθ = 2π * g(R)。对于极坐标下的Θ，由于它是均匀分布的，其密度函数f_Θ(Θ) = 1/(2π)。 (b) R和Θ是否独立可以通过检查它们的联合密度函数f(R, Θ) = f(x, y)是否可以写成f_R(R) * f_Θ(Θ)的形式来判断。由于f(x, y) = g(x^2 + y^2)，而x^2 + y^2 = R^2，因此f(R, Θ)不能简化为f_R(R) * f_Θ(Θ)，所以R和Θ不独立。 3. 此题是关于独立样本t检验的问题，用于比较男性和女性对不同啤酒类型的偏好是否存在显著差异。首先计算每种啤酒类型的男女比例，然后构建卡方检验的统计量，查表得出p值，与显著性水平α=0.05比较，若p值小于0.05，则拒绝原假设，认为存在显著差异。 4. 这题可能涉及到的是两个比例的Z检验或者卡方检验，目的是检验男性和女性的啤酒偏好是否来自同一总体。首先计算两性对每种啤酒类型的相对比例，然后计算总体比例差异的Z统计量或卡方统计量，根据显著性水平0.05查找临界值，判断是否拒绝原假设，即男性和女性的啤酒偏好无显著差异。 这些题目要求学生不仅掌握基本的概率分布和统计概念，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题，包括计算概率、理解随机变量的性质、进行假设检验等。此外，考试中还强调了正确引用统计符号和分布函数的重要性。