无向图操作实现：遍历、连通性、最短路径与关键路径

"无向图的各项功能的课程设计" 在这个课程设计中，你需要实现一系列与无向图操作相关的功能。以下是对这些功能的详细说明： 1. 插入顶点和边：在图中添加新的顶点和连接它们的边。这涉及到数据结构的选择，例如邻接矩阵或邻接表，以及确保新元素正确地插入并更新相关连接。 2. 删除顶点和边：从图中移除指定的顶点及其连接的所有边，或者单独移除一条边。删除操作需要考虑如何维护图的结构完整性。 3. 存储结构转换：在邻接矩阵和邻接表（如十字链表或邻接多重表）之间进行转换。这可能涉及将图的表示从二维数组形式转换为链表形式，反之亦然。 4. 深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）序列：这两种遍历方法用于访问图中的所有顶点。DFS从一个顶点开始，沿着边向下深入；BFS则使用队列，逐层访问所有顶点。 5. 深度优先或广度优先的生成树：生成树是无环且连接所有顶点的子图。遍历生成树可以进一步了解图的结构。 6. 判断图的连通性：检查图是否为连通图，即从任一顶点出发能到达其他所有顶点。输出连通分量的个数，若图不连通，则会有多个连通分量。 7. 检测环：在无向图中寻找环，这可以通过DFS或BFS实现，检测到回路时停止搜索。 8. 判断路径存在性：给定两个顶点u和v，确定在图中是否存在从u到v的路径。 9. 求简单路径：从u到v的简单路径不包含重复顶点。可以使用DFS或BFS来寻找这样的路径。 10. 找出所有简单路径：找出从u到v的所有不重复的路径。 11. 求最短路径：找到从u到v的最小权重路径，这可能需要Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。 12. 求u到所有顶点的最短路径：计算从u出发到图中每个顶点的最短路径，通常使用Floyd-Warshall算法。 13. 求任意两个顶点间的最短路径：这要求计算图中任意一对顶点之间的最短路径，Floyd-Warshall算法适合解决这类问题。 14. 求最小生成树：使用Prim或Kruskal算法找到一个具有最小总权重的生成树，覆盖所有顶点。 15. 关键路径：在有向网中，如果有一个源点和一个汇点，关键路径是从源点到汇点的最长路径，代表了项目完成的最短时间。可以使用拓扑排序和活动网络法（AOV网）来找到关键路径。 在实现这些功能时，理解图的理论基础和选择合适的数据结构至关重要。邻接矩阵适用于快速访问边的信息，而邻接表则在空间效率上更优。同时，掌握各种遍历和最短路径算法的原理也是必不可少的。