距离度量：欧氏距离与标准化欧氏距离解析

本文主要介绍了标准欧氏距离的定义及其在距离度量中的应用，同时列举了多种其他类型的距离度量方法，如曼哈顿距离、切比雪夫距离、明可夫斯基距离等。 标准欧氏距离是数据挖掘和机器学习中常用的一种距离度量方法，用于量化两个样本点之间的差异。它是在欧氏几何基础上定义的，适用于多维空间中的点之间的距离计算。在简单欧氏距离的基础上，标准欧氏距离考虑了数据各维度的分布不一致问题，通过标准化处理使得所有维度在同一尺度上。具体来说，对于一个样本集X，其每个元素x经过标准化处理后，其数学期望为0，方差为1。标准化过程可以用公式表示为： 标准化欧氏距离计算时，首先对每维特征进行标准化，即将每个特征减去该特征的均值，然后除以其标准差。这样处理后的数据具有零均值和单位方差，消除了原始数据各维度量纲不一的影响。标准欧氏距离的公式如下： 对于二维空间的点a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的标准欧氏距离为： sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) 在三维空间中，点a(x1, y1, z1)和b(x2, y2, z2)的标准欧氏距离为： sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2) 在MATLAB中，可以使用`pdist`函数计算欧氏距离。例如，对于向量(0, 0), (1, 0), (0, 2)，可以创建一个2x3的矩阵X，然后调用`pdist(X, 'euclidean')`来获取这些向量两两之间的欧氏距离。 除了标准欧氏距离，还有其他多种距离度量方式。例如： - 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：在每个维度上分别计算绝对差的总和。 - 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：取各个维度上绝对差的最大值。 - 明可夫斯基距离（Minkowski Distance）：包括曼哈顿距离和欧氏距离作为特例，是p范数的一种形式。 - 哈拉比斯距离（Mahalanobis Distance）：考虑了数据协方差的加权距离，尤其适用于异常值检测。 - 明确距离（Hamming Distance）：用于离散数据，计算两个字符串在对应位置上的不同字符数量。 - 杰卡德距离（Jaccard Distance）：衡量两个集合的非重叠部分占总交集的比例。 - 相关距离（Correlation Distance）：基于特征之间的相关系数计算。 - Hausdorff距离：衡量集合中每个点到另一个集合中最近点的距离的最大值。 - 地球移动者距离（Earth Mover’s Distance）：用于图像处理和计算机视觉，想象将一个分布转化为另一个分布所需的最小工作量。 这些距离度量方法在不同的场景和问题中各有优势，选择哪种取决于具体的应用需求和数据特性。