超平面投影与线性判别函数距离的证明

第五章详细探讨了线性判别函数在模式分类中的应用，这部分内容涉及了超平面在决策边界中的角色以及如何通过数学证明来理解其性质。首先，我们关注的是超平面( 0 g = x )，它是一个决定分类边界的线性方程，由权向量w定义。问题(a)要求证明从超平面到点 a x的距离可以通过计算( ) a gx w来衡量，这个距离实际上是点到超平面法向量w的距离的缩放版本，即( ) a g r= x w。这里，( ) a g 是点 a x到超平面的内积，而r是点到超平面的距离。 为了找到使( 2 a − x x )最小的点 x，即投影点 p x，我们需要找到一个在约束( 0 g = x )下的最优解。投影点 p x满足( ) p g = x ，它的位置使得( 2 a − x x )达到最小。根据题目给出的推导，我们可以得出( a p r = + w x x w )，这表明投影点与超平面法向量w同向。进一步地，通过一系列代数操作，我们证明了( a g r= x w)或( a g r=− x w)，取决于点 a x在超平面的哪一侧。 问题(b)则涉及到点 a x到超平面的投影计算，即( 2 a p a g = − x x x w w)。这个公式表示了点 a x到超平面的投影长度等于( a x到超平面法向量w的内积)除以w的模长，即投影点到超平面的距离。 整个过程强调了线性判别函数的几何意义，即如何通过向量运算和内积来确定数据点的分类位置，这对于理解和支持许多机器学习算法如支持向量机（SVM）的工作原理至关重要。通过这些证明，学生可以深化对超平面在分类问题中的作用和优化策略的理解。