Heisenberg群上的不确定性不等式与Fourier变换

"这篇论文由肖劲森和何建勋合作撰写，主要研究了Heisenberg群上的不确定性不等式，将传统的欧氏空间中的Heisenberg-Pauli-Weyl不等式进行了推广。文章深入探讨了Heisenberg群的Fourier变换、小波变换以及不确定性原理的应用，并通过热核的估计和次拉普拉斯算子与群Fourier变换的关系建立了新的不等式。此外，论文还利用这些不等式研究了连续小波变换的不确定性问题。" 在数学领域，特别是量子力学和信号处理中，不确定性原理是一个核心概念，最早由海森堡提出，后来保罗·狄拉克和维尔纳·海森堡进一步发展。在欧氏空间中，海森堡-保罗-维勒（Heisenberg-Pauli-Weyl）不确定性原理指出，一个函数的位置和动量不能同时被精确地知道，这在物理上表现为测量的精度限制。在本文中，作者将这一原理拓展到了Heisenberg群的框架下。 Heisenberg群是物理学和数学中的一个重要结构，它是一种非阿贝尔的 Lie群，通常被用作描述二维空间中的量子力学系统，尤其是与旋转和平移相关的操作。在这个群上，传统的傅立叶变换被推广为群傅立叶变换，这使得分析工具可以应用于更复杂的几何环境。 论文的关键技术包括对热核的估计和次拉普拉斯算子的运用。热核是热方程的解，它在概率论和微分方程理论中有重要应用。次拉普拉斯算子是Heisenberg群上的基本算子，与群傅立叶变换密切相关。通过它们之间的关系，作者建立了Heisenberg群上的不确定性不等式，这为理解和分析群上的信号提供了理论基础。 此外，论文还涉及到了连续小波变换。小波变换是数学和工程中的一种工具，它可以提供多尺度分析，对于信号的局部特征提取和恢复非常有用。作者将新建立的不确定性不等式应用于连续小波变换，从而获得了关于Heisenberg群上小波变换的不确定性原理。 这篇论文的工作不仅深化了对Heisenberg群上不确定性原理的理解，也为处理相关领域的数学问题和实际应用（如量子力学和信号处理）提供了新的理论工具。关键词包括Heisenberg群、Fourier变换、小波变换、不确定性不等式和热核，表明了研究的主要内容和方向。