同济大学高数知识点精华总结：导数与极限详解
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更新于2024-06-30
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"本篇文档是同济大学数学科学学院'济梦助学基地'项目组于2019年1月8日发布的高等数学(上)知识点总结，由彭任锋、张世瑞等人整理，旨在帮助学生复习教材中的关键内容，包括函数与极限、导数与微分、不定积分、定积分以及常微分方程等内容。主要内容涵盖了以下几个部分：
1. 函数与极限：介绍了求极限的不同方法，如夹逼准则、两个重要极限、无穷小运算、洛必达法则、泰勒展开和Stolz定理。同时，还讨论了如何判断极限是否存在，以及第一章习题的解答。
2. 导数与微分：这部分重点讲解了导数的概念，区分了可导与连续，提供了求导的实例，包括函数和、差、积、商的求导法则、复合函数求导法则、反函数求导法则以及基本初等函数的导数公式。此外，还涉及微分的概念、运算法则，以及第二章习题的解答。
3. 微分中值定理：讨论了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，以及洛必达法则和泰勒公式的应用，涉及函数单调性、曲线凹凸性和曲率的分析。
4. 不定积分：阐述了不定积分的性质，包括直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法（变量替换法）和分部积分法。同时，针对有理函数、三角函数有理式和简单无理函数提供了积分的处理策略，并给出了有理函数积分的示例。
这份知识点总结是对高等数学上册的重要概念和技巧进行了系统化的归纳，对于学习者理解和掌握课程内容具有很高的实用价值。通过深入理解这些内容，学生可以更好地应对期末考试和日常学习中的问题。"
高等数学 (上) 知识点总结 — 9/49
a
n
−b
n
= (a −b)(a
n−1
+ a
n−2
b + a
n−3
b
2
+ ···+ a
2
b
n−3
+ ab
n−2
+ b
n−1
)
上面这个公式对任何正整数 n 都对. 若 n 是奇数时, 还有下面这个公式:
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n−1
−a
n−2
b + a
n−3
b
2
−···+ a
2
b
n−3
−ab
n−2
+ b
n−1
)
上式右边第二个括号里,+ 和 − 交替出现.
本题中, 可以分别将 1 −x 看作 1 −(
√
x)
2
,1 −(
3
√
x)
3
,···,1 −(
n
√
x)
n
, 于是得到:
1 −x = (1 −
√
x)(1 +
√
x)
1 −x = (1 −
3
√
x)(1 +
3
√
x + (
3
√
x)
2
)
一般地, 有
1 −x = (1 −
n
√
x) ·
n−1
k=0
(
n
√
x)
k
于是原式 =lim
x→1
(1 −
√
x)(1 −
3
√
x)···(1 −
n
√
x)
(1 −x)(1 −x)···(1 −x)
= lim
x→1
n
t=2
1
t−1
k=0
(
t
√
x)
k
=
1
n!
.
例 15(P11 第 2 题 (2)) 计算:lim
x→0
(cosx)
2csc
2
x
2
解 原式 =lim
x→0
(1 + (cos x −1))
2
sin
2
(
x
2
)
= lim
x→0
(1 + (cos x −1))
1
(cosx −1)
·
2(cosx −1)
sin
2
(
x
2
)
= e
lim
x→0
2(cosx −1)
sin
2
(
x
2
)
(注意这里不要写成 lim
x→0
e
2(cosx −1)
sin
2
x
2
, 即使结果正确)
= e
lim
x→0
(−x
2
)
x
2
2
= e
−4
.
例 16(P12 第 3 题 (2)) 计算: lim
x→0
+
x
ï
1
x
ò
= 1.
解: lim
x→0
+
x
Å
1
x
−
ß
1
x
™ã
= 1 − lim
x→0
+
x
ß
1
x
™
= 1(∵ {x} ∈ [0,1)(∀x))
({x} 表示 x 的小数部分).
例 17(P12 第 4 题) 利用单调有界收敛定理证明: 数列
√
2,
2 +
√
2,
»
2 +
2 +
√
2,··· 极限存在, 并求出极限.
Proof. 记这个数列为 {x
n
}, 其中 x
1
=
√
2, 递推公式为 x
n+1
=
√
2 + x
n
, 且若 x
n
< 2, 则有 x
n+1
<
√
2 + 2 = 2, 而 x
1
< 2,
于是 x
n
< 2(∀n ∈ N),
又 x
n+1
−x
n
=
√
x
n
+ 2 −x
n
=
x
n
+ 2 −x
2
n
√
x
n
+ 2 + x
n
=
(2 −x
n
)(1 + x
n
)
√
x
n
+ 2 + x
n
> 0.,
即 {x
n
} 递增, 有上界 2, 根据单调有界收敛定理,{x
n
} 收敛. 设 lim
n→∞
x
n
= a,
在 x
n+1
=
√
2 + x
n
两边同时取极限, 得: a =
√
2 + a, 解得:a = −1(舍去) 或 a = 2, 于是 lim
n→∞
x
n
= 2.
例 18(P12 思考题) 已知极限 lim
x→e
f (x) 存在, 且函数 f (x) 满足 f (x) =
lnx −1
x −e
lim
x→e
f (x) +
x
e
e
x−e
, 求 lim
x→e
f (x).
解 这里 lim
x→e
f (x) 已经是一个确定的数, 于是为了求出这一个常数, 我们在等式两边作极限过程 x → e, 即:
lim
x→e
f (x) = lim
x→e
f (x) lim
x→e
lnx −1
x −e
+ lim
x→e
x
e
e
x−e
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