班序号： 学院： 学号： 姓名：王松年 8
(上式中画下划线的部分是含有 x 项的，不构成常数项，没必要计算)
第四项：有个系数 x，所以不可能构成常数项，按第一行展开，只有第一行第三列的位置处构成三次项
−x · 2
x −2
1 x
= −2x
3
所以综上所述，三次项为 −12x
3
− 2x
3
= −14x
3
，常数项为 14 ♢
三. 设 A 的伴随矩阵 A
∗
=
2 0 0 0
0 2 0 0
1 0 2 0
0 −3 0 8
, 且 ABA
−1
= BA
−1
+ 3I，求 B。
解：
由题得：|A
∗
| = 2 × 2 × 2 × 8 = 64
ABA
−1
= BA
−1
+ 3I ⇒ AB = B + 3A ⇒ A
∗
AB = A
∗
B + 3A
∗
A
A
∗
A = |A|A
−1
A = |A|I |A
∗
| = ||A|A
−1
| = |A|
n
|A|
−1
= |A|
n−1
= |A|
4−1
= 64 |A| = 4
所以 4B = A
∗
B + 3 × 4 ⇒ B = 12(4 − A
∗
)
−1
.
求逆的过程略。
最后的结果为：
B =
6 0 0 0
0 6 0 0
3 0 6 0
0 4.5 0 −3
♢
四.λ 为何值时，方程组
2x
1
+ λx
2
− x
3
= 1
λx
1
− x
2
+ x
3
= 2
4x
1
+ 5x
2
− 5x
3
= −1
有无穷多组解？并在有无穷多解时，写出方程组的通解。
解：
记 A =
2 λ −1
λ −1 1
4 5 −5
, B =
1
2
−1
,
|A| =
2 λ −1
λ −1 1
4 5 −5
c
3
+c
2
=====
2 λ λ − 1
λ −1 0
4 5 0
= (λ − 1)(5λ + 4)
可以看出 λ = 1 且 λ = −
4
5
时即 |A| = 0 时，方程有唯一解。
λ = 1 时：
[A|B] =
2 1 −1
1 −1 1
4 5 −5
1
2
−1
r
2
−
1
2
r
1
r
3
−2r
1
−−−−−→
2 1 −1
0 −
3
2
3
2
0 3 −3
1
3
2
−3
r
3
+2r
2
−−−−−→
2 1 −1
0 −
3
2
3
2
0 0 0
1
3
2
0
中间略
−−−→
1 0 0
0 1 −1
0 0 0
1
−1
0
所以 λ = 1 时有无穷多解，x
1
= 1, x
2
= x
3
− 1.
所以通解为 x = [1, −1, 0]
T
+ k[0, 1, 1]
T
, (k ∈ R)
λ = −
4
5
时，r (A) = r(A, B)，此时无解。 ♢
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