矩阵论：基变换与坐标转换详解

"基变换和坐标变换是矩阵论课程中的重要概念，它涉及到线性代数的基本原理。在本讲义中，主要讨论了不同的基之间如何相互转换以及同一向量在不同基下的坐标表示。基变换，即从一个基转换到另一个基的过程，是通过一个称为过渡矩阵的非奇异矩阵来完成的。过渡矩阵的特性在于，它的第i列就是对应于基{αi}下的基向量βi的坐标。 基变换的公式可以表述为，如果空间中有两个基，一个基{αi}的向量在另一个基{βi}下的坐标可以通过乘以过渡矩阵C来得到。过渡矩阵C满足以下性质： 1. 非奇异性：意味着矩阵C的行列式不为零，保证了线性变换的唯一性。 2. 第i列表示：C的每一列都是基向量在原基下的坐标。 课程矩阵论涵盖了广泛的主题，包括矩阵作为研究线性空间和线性变换的重要工具，矩阵的化简与分解，以及分析理论。矩阵理论不仅在实际问题解决中具有广泛的应用，如MATLAB和MAPLE等计算工具，还与现代数学的抽象结构紧密相关。 教学安排上，课程分为多个章节，例如第1章至第6章，每章分配了不同的学时，总计48学时。课程以基础的线性代数知识为前提，强调矩阵的计算工具运用，同时也会涉及矩阵在现代应用中的选讲部分。参考书目包括余鄂西的《矩阵论》和方保熔等人的著作，这些书籍为深入学习提供了丰富的资料。 基变换和坐标变换是矩阵论课程的核心内容之一，它对于理解和应用矩阵理论，特别是处理向量在不同坐标系下的变换至关重要。掌握这个概念对于后续的线性代数和矩阵运算有着基础性的影响。"