一维双曲守恒律组的Hamilton-Jacobi方程有限元解法

"这篇文章是2002年发表在《石油大学学报(自然科学版)》第26卷第1期的一篇论文，作者为李祥贵和刘为清。文章探讨了使用Galerkin高次有限元法解决一维双曲守恒律组的Hamilton-Jacobi方程的方法，该方法具有TVD性质并展示出良好的收敛性。" 本文关注的是数值方法在求解双曲守恒律组中的应用，特别是通过Hamilton-Jacobi方程的视角。Hamilton-Jacobi方程（H-J方程）是偏微分方程的一种，常在物理、工程等领域出现，它与某些类型的守恒律方程有着密切关系。在本文中，作者采用Galerkin离散方法，这是一种有限元方法，通过在每个单元内构造多项式插值函数来逼近解，从而得到数值格式。 对于一维双曲守恒律组，这些方程通常涉及物理量如动量、能量或质量在空间和时间上的变化。使用Galerkin高次有限元法，可以在保持高精度的同时，避免复杂的计算格式。特别是，当处理标量守恒律方程和线性双曲方程组时，这种数值格式具备总变差不增（Total Variation Diminishing, TVD）特性，这意味着数值解不会无理由地增加局部变化，这是保持稳定性的重要属性。 文章还指出，尽管连续有限元方法通常能保证解的物理正确性，但其格式复杂，特别是在处理不规则区域和复杂边界条件时。不连续有限元方法虽然简化了处理单元边界的问题，但求解过程可能变得更为困难。因此，作者提出了一种混合策略：首先用连续有限元法对等价的H-J方程组进行离散，然后通过求解H-J方程在单元中点的导数来得到守恒律组的数值解。这种方法既保留了Galerkin方法的简洁性，又避免了处理间断问题时通常需要的人工粘性项。 此外，论文的计算结果显示，这种方法对于非线性双曲方程组也有较好的收敛性能。文章最后提及，这种方法的计算量相对较小，相比其他高精度的差分和不连续有限元法更有效率。 总结来说，这篇论文贡献了一种新的数值方法，将Galerkin高次有限元应用于双曲守恒律组的Hamilton-Jacobi方程，解决了传统方法中的一些挑战，提供了高效且稳定的数值解。这种方法对于理论研究和实际应用都有重要的价值，尤其是在处理一维双曲守恒律问题时。