混合分数布朗运动与幂期权定价

"数布朗运动驱动的随机微分方程。假设存在一个金融市场的标的资产，其价格动态遵循混合分数布朗运动。这种运动是由两个不同分数布朗运动线性组合而成的，能够更好地模拟股票市场的自相似性和长记忆性，这两个特性是标准布朗运动无法完全捕捉的。 在混合分数布朗运动的框架下，我们构建了一个金融数学模型，用于分析期权定价。特别是，我们关注的是幂期权，这是一种特殊的期权类型，其支付与标的资产价格的n次幂有关。对于这类期权，我们运用了拟鞅方法来求解定价公式。拟鞅方法是一种在概率论和金融数学中广泛使用的工具，它允许我们转换视角，从原始的概率测度转移到风险中性的等价鞅测度，从而简化定价问题。 通过这种方法，我们得到了欧式幂期权的解析定价公式，即在给定模型参数和市场条件下的期权理论价值。此外，还推导出了相应的平价公式，这对于理解和交易期权有着重要意义，因为平价公式揭示了期权价格与其基础资产价格之间的关系，以及它们与利率、波动率等因素的相互作用。 文章进一步指出，分数布朗运动是混合布朗运动的一个特例，当其中的一个分数布朗运动成分退化为标准布朗运动时，就回到了传统的Black-Scholes模型。这表明混合分数布朗运动模型不仅扩展了经典模型，而且提供了对更复杂市场行为的描述。 在实际应用中，如果股票市场显示出分形或长记忆效应，使用混合分数布朗运动模型可能会给出更准确的期权定价结果。此外，由于混合分数布朗运动驱动的市场在特定策略集下是无套利的，并且可以完全对冲，所以该模型具有较强的现实意义。 这篇文章为金融数学领域提供了一个新的工具，即混合分数布朗运动驱动的期权定价模型，该模型能够更精确地反映具有非高斯统计特性的金融市场，从而为投资者和金融机构提供更准确的风险管理和投资决策依据。"