逻辑回归:极大似然估计详解与代价函数优化
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更新于2024-08-05
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逻辑回归(logistic regression)是一种广泛应用在分类问题中的统计学方法,其核心在于通过线性模型预测二分类问题中的后验概率。它之所以被称为“回归”,是因为其最初的形式与线性回归相似,但实际上处理的是离散的类别输出。
逻辑回归的基本思想是将线性模型的输出(通常是连续的)通过Sigmoid函数(sigmoid function)映射到0到1之间,这使得输出值可以解释为类别1的概率。Sigmoid函数的公式为 \( \phi(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \),它是一个平滑的、单调递增且连续可微的函数,完美地解决了理想阶跃函数(step function)的不连续问题。
对于每个样本点 \( (x_i, y_i) \),其中 \( x_i \) 是输入特征向量,\( y_i \) 是对应的类别标签(0或1),逻辑回归的目标是找到一组权重 \( w \) 和偏置 \( b \),使得模型预测 \( \phi(w^T x_i + b) \) 接近于真实类别概率。当 \( \phi(z_i) \geq 0.5 \) 时,预测为类别1,否则为类别0。
逻辑回归的代价函数,通常称为损失函数,选择模仿线性回归的均方误差并不适用,因为Sigmoid函数导致的输出是非线性的。为此,我们采用逻辑损失函数(log loss),也称为交叉熵损失函数(cross-entropy loss),其表达式为:
\[ J(w) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y_i \log(\phi(z_i)) + (1 - y_i) \log(1 - \phi(z_i))] \]
这里,\( m \) 是样本数量。这个函数的特点是,当预测概率接近真实类别概率时,损失较小;反之,当预测与真实类别相反时,损失增大,从而鼓励模型学习更准确的决策边界。
优化逻辑回归模型的过程通常采用梯度下降法或其他优化算法,目标是找到参数 \( w \) 和 \( b \) 的最小值,以使得整体损失函数达到最优。在实际应用中,逻辑回归还可能进行正则化,以防止过拟合现象的发生。
逻辑回归通过结合线性模型和Sigmoid函数,巧妙地将连续的线性预测转换为类别决策,其代价函数的选择和优化策略确保了模型的有效性和稳定性,使其在众多分类任务中占据重要地位。
2023-06-12 上传
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