Pólya定理与染色图计数

"Pólya定理-ACM-polya计数法" Pólya定理是组合数学中一个非常重要的工具，特别是在计算图形同构、染色问题和计数问题上有着广泛应用。该定理是由匈牙利数学家George Pólya提出的，主要解决的是在给定条件下，如何计算具有某种特定性质的对象的数量。在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，Pólya定理常用于解决染色图和计数问题，尤其是在有限的时间内计算出答案。 首先，Pólya定理的基本思想是，假设我们有k种不同颜色，要对某个图形进行染色，而这个图形可以被某些置换操作所变换。如果一个置换操作将一个染色方案变为另一个方案，那么我们就说这两个方案是等价的。置换的循环数c表示在该置换下，有多少个元素形成了一个循环。Pólya定理指出，对于一个特定的置换，如果它的循环数为c，那么这个置换能够保持不变的染色方案数就是k的c次方。 在实际应用中，比如在上述的06年江苏上海选拔赛的问题中，我们需要计算N个顶点的无向完全图，每条边可以染k种颜色之一，所有本质不同的染色图的数量。由于直接枚举所有可能的染色方案会超时，所以我们不能采用暴力方法。这时，就需要引入Burnside引理，它是Pólya定理的一个推论。Burnside引理指出，对于一个置换群G和它的着色集合C，不等价的着色数量等于每个置换在C上的固定点数的平均值。 在这个问题中，G是由点的置换引起的边的置换群。例如，当N=3时，有3条边，点的不同排列有6种，每种排列都会对应一种边的置换方式。我们需要计算每种置换下，有多少种颜色分配方式是不变的，然后按照Pólya定理计算出每个置换的贡献，最后将所有置换的贡献相加，并取模得到最终答案。 通过这种方法，我们可以有效地计算出染色图的个数，而无需枚举所有可能的染色方案，大大提高了计算效率，使得在ACM竞赛中可以在规定的时间内得出正确答案。因此，掌握Pólya定理及其应用对于解决这类问题至关重要。