一元拟线性回归问题及改进：异方差性与加权回归

本文主要探讨了一元拟线性回归中的问题及其改进措施，重点关注的是幂函数、指数函数、双曲函数以及S型曲线在换元后进行线性回归时的情况。1946年，H.Cramer的工作标志着现代数理统计的发展，但传统上，当面对这些非线性函数时，人们倾向于通过换元将它们转化为线性形式，以便应用标准的一元线性回归方法来估计参数。 换元线性化回归的优势在于它简化了分析过程，使得参数估计更加直观。然而，本文发现这种方法存在一些问题。首先，换元后的因变量可能会表现出异方差性，即不同观测值的误差大小不一致，这会导致拟线性回归参数的精度下降。异方差性是统计分析中的一个重要概念，它会影响模型的稳健性和有效性。 尽管现有的教材和文献通常推荐这种做法，但缺乏对换元本质的深入剖析和精度问题的讨论。作者王仲锋和冯仲科通过对现有研究的批判性回顾，指出换元线性化回归的不足，并提出一种改进策略：通过加权回归方法来提高拟线性回归的参数精度。加权回归考虑了数据点的重要性或误差大小，从而在估计过程中给予不同的权重，可以有效抵消异方差带来的影响。 文中通过理论分析和实际算例，展示了如何通过加权回归技术来提升幂函数和双曲函数回归的参数估计精度，这为解决非线性回归中的问题提供了一个实用的方法。作者的工作填补了当前文献空白，为一元拟线性回归的理论研究和实际应用提供了新的视角。 本文的重要贡献在于揭示了一元拟线性回归中换元方法的问题，并提出了解决方案，这对于从事数理统计研究的人来说具有重要的参考价值，特别是在处理实际科研和工程问题时，了解和掌握这种改进方法能显著提高回归分析的精确性和可靠性。