图的存储结构：邻接矩阵、邻接表与十字链表

"图的存储结构例题-数据结构 图与排序" 本文将深入探讨图的存储结构，包括邻接矩阵、邻接表和十字链表，这些都是数据结构中图的常见表示方式。在图论中，图是由顶点（节点）和边组成的非线性数据结构，可以用来表示各种关系。图分为有向图和无向图，其中有向图的边具有方向，而无向图的边没有方向。连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径，强连通图则是有向图中任意两个顶点互相可达。生成树是图的一个子集，包含了图的所有顶点，且没有环路。 **邻接矩阵** 是一种二维数组，用于表示图中顶点之间的邻接关系。对于无向图，邻接矩阵是对称的，其中的元素表示对应顶点之间是否存在边；对于有向图，邻接矩阵可能不对称。例如，一个图的邻接矩阵可以表示为： ``` 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 ``` **邻接表** 是另一种节省空间的图存储方式，尤其适用于稀疏图。它为每个顶点维护一个列表，列出与其相邻的所有顶点。例如，对于上述图，邻接表可能如下所示： ``` A: [B] B: [A, C, E] C: [B, D] D: [C, E, F] E: [B, D, F] F: [D, E] ``` **十字链表** 是有向图的高效存储结构，尤其适合处理带权图。每个顶点有两个链表，一个存储入边，另一个存储出边。每个链表节点包含指向相邻顶点的信息以及边的权重。 接下来，我们看一个实例，要求使用无向图的邻接多重表存储图，并在有向图情况下使用十字链表。这通常涉及动态内存分配，以根据需要创建和连接节点。 对于最小生成树（MST）的算法，如Prim和Kruskal，它们都是解决图中找到权值最小的边集合，使得这些边连接所有顶点且不形成环路的问题。Prim算法从一个顶点开始，逐步添加边，而Kruskal算法则是按照边的权重从小到大选择，每次添加不会形成环路的边。 **拓扑排序** 是对有向无环图（DAG）进行排序，使得对于每一条有向边 (u, v)，u 都出现在 v 之前。深度优先搜索（DFS）策略的拓扑排序算法会首先访问所有入度为零的顶点，然后递归地访问它们的邻居，直到所有顶点都被访问过。 **排序算法** 的性能分析是算法设计的重要部分。直接插入排序、简单选择排序和冒泡排序在最坏情况下都有 O(n²) 的时间复杂度；快速排序在平均情况下是 O(nlogn)，但最坏情况下也是 O(n²)；堆排序和合并排序在所有情况下都是 O(nlogn)；基数排序的时间复杂度与关键字的个数和取值范围有关。 最后，奇偶交换排序是一种交换排序，它交替对奇数和偶数位置的元素进行比较和交换。排序结束的条件是没有任何交换发生。在这种排序中，如果序列已经有序，无论是升序还是降序，比较次数都是 n-1。 总结来说，理解并掌握图的存储结构和排序算法对于深入学习数据结构和算法至关重要，它们在实际问题解决中有着广泛的应用。