离散群作用下的动力系统混沌分析

"这篇文章是浙江大学数学系的苏邮立发表在《浙江大学学报(理学版)》2005年第32卷第1期上的一篇论文，主要研究了离散群作用在紧度量空间上的混沌理论，特别是探讨了Devaney混沌和Li-Yorke混沌之间的关系。" 在动力系统理论中，混沌是一种复杂行为的表现，它描述了系统在初始条件微小变化下可能产生显著不同的长期行为。本文的核心内容是离散群T在紧度量空间X上的作用，以及这种作用如何导致动力系统(X,T)的混沌现象。 首先，作者给出了动力系统(X,T)中Li-Yorke混沌的定义。Li-Yorke混沌是一种混沌类型，它涉及两个点的渐近行为，即对于系统中的某些点x和y，它们的轨道既不一致接近也不不一致接近，从而展示出混沌的特性。这种混沌定义关注的是点对的长期行为，而不仅仅是单个点的行为。 接着，作者讨论了Devaney混沌与Li-Yorke混沌的关系。Devaney混沌是一种更为广泛的混沌定义，它涵盖了敏感依赖于初始条件、遍历性和不规则性三个特性。Devaney混沌通常被认为是弱混沌，因为它不要求所有点对都表现出Li-Yorke混沌的特征。 文中特别指出，对于可迁系统(X,T)，如果作用群T是可交换的，那么对于任何X中的点x，其渐近类A(x)是X的第一纲集。第一纲集的概念与集合的稠密性和空洞结构有关，这里的证明表明在可交换群作用下，系统的渐近行为呈现出一定的结构。 进一步，作者证明了在T可交换的情况下，如果可迁系统(X,T)包含周期点，那么系统(X,T)将是Li-Yorke混沌的。这意味着，即使只有一对点满足Li-Yorke混沌的条件，整个系统也可以被归类为混沌。因此，当群T可交换时，Devaney混沌被证明比Li-Yorke混沌更“强”，即Devaney混沌包含了Li-Yorke混沌的所有情况，但还有更多其他混沌行为。 关键词包括混沌、初值敏感性、包络半群、局部近似和渐近行为，表明该论文深入研究了这些概念在群作用下的动态性质。论文的分类号和文献标识码表明这是一篇科学研究论文，属于数学领域，尤其是动力系统和混沌理论的分支。 这篇论文对于理解离散群在紧度量空间上的混沌动力学提供了新的视角，特别是在可交换群作用下，如何区分和比较Devaney混沌和Li-Yorke混沌的特性。