图论基础：点割集与边割集及其应用

第7章图论深入探讨了图的基本原理及其在实际问题中的广泛应用。本章首先介绍了图的定义，它是由节点（通常代表实体或对象）和连接这些节点的边（表示关系或路径）组成的抽象结构。图论起源于18世纪，由瑞士数学家欧拉通过解决哥尼斯堡七桥问题引入，其核心思想至今仍被广泛应用于各种领域，如电路设计、化学结构分析、运输网络优化、考试安排甚至生态系统的竞争关系表示。 图论的核心概念包括： 1. **图的表示**：通常采用三元组的形式G=<V(G),E(G),φG>来描述，其中V(G)表示节点集合，E(G)是边集合，φG是一个函数，将边映射到节点对（无向边时为无序偶，有向边时为有序偶）。简化表示则为G=<V，E>。 2. **图的类型**： - **无向边**：仅表示两点之间的关系，如(a,b)表示节点a和b之间有一条无方向的连线。 - **有向边**：如<a,b>，表示从节点a到节点b的方向性联系。 3. **特殊节点**： - **孤立结点**：没有与其他节点相连的节点。 - 图的分类： - **无向图**：所有边都是无向的，如图中所示的无向边序列。 - **有向图**：存在方向性的边，如示例中的有向边序列。 图论中的关键概念还包括路与回路，它们在描述路径和循环方面至关重要。路是一系列相邻的节点，不重复经过任何节点，而回路包含至少一条自始至终的路径，可以重复经过某个节点。这些概念对于理解网络的连通性和完整性至关重要。 此外，章节还可能涵盖了图的矩阵表示方法，如邻接矩阵和度矩阵，这些工具在图的计算和分析中非常实用。欧拉图和哈密尔顿图是特殊的图型，前者是指恰好可以通过每条边恰好一次的图，后者是指包含了所有节点恰好一次的回路。 图论的应用领域广泛，不仅在计算机科学中作为算法设计的基础，还在运筹学、网络理论、信息论、控制论、博弈论等多学科中发挥着重要作用。随着科技的进步，图论将继续作为解决问题的强大工具，尤其是在当今大数据和复杂网络分析的时代。