快速Halley算法：多项式零点高效求解

本文主要探讨了在已有的Halley圆盘迭代法的基础上，提出了一种求多项式全部零点的快速Halley算法。该算法针对Halley迭代法的不足，特别是当处理多项式及其导数计算量较大问题时的效率问题进行了改进。Halley法原本基于二阶迭代，每一步的收敛速度为四阶，但本文通过圆盘算术的巧妙运用，成功地将收敛速度提升到了七阶，这意味着算法的精度显著提高，尤其是在处理大规模计算或高精度需求的场景下。 作者首先回顾了Laguerre迭代法，它虽然能够同时得到多项式所有零点的近似值并提供误差估计，但由于依赖于圆盘开方运算，计算复杂度较高。相比之下，Halley法虽避免了Laguerre法的这一缺点，但在计算负担较大的情况下效率并不理想。为解决这个问题，作者构造了一种新型的快速Halley算法，其核心在于利用圆盘算术简化了多项式和其导数的计算过程，降低了整体的运算量，从而提高了算法的执行效率。 文章的结构分为两部分：首先介绍了Halley迭代法的基本原理和公式，然后详细阐述了新算法的构造过程。通过引入辅助函数σ1(x)和σ2(x)，算法通过迭代更新变量z，使得每一次迭代都能更接近多项式的实际零点。作者还展示了算法的关键步骤，包括定义81(x), 82(x)以及σ1(x), σ2(x)，这些都围绕着如何利用现有信息来优化迭代过程。 此外，文章还强调了算法的收敛性分析，指出在与Halley迭代法相同的前提下，新的快速Halley算法能够在相同的条件下建立收敛性定理，这进一步验证了算法的有效性和可靠性。最后，数值结果部分展示了算法的实际应用效果，证实了该算法在求解多项式零点问题上具有显著的优势，无论是精度还是计算效率都得到了显著提升。 总结来说，这篇论文提供了在解决多项式零点问题上的一项创新技术，通过改进Halley迭代法，实现了更快、更精确的求解方法，对于处理大规模计算任务的科学计算和工程应用具有重要意义。