数值计算方法复习与试题解析

"这是一份关于计算方法的复习资料，包含了填空题和相关答案，涵盖了数值计算方法的核心概念，如矩阵的LU分解、数值积分、插值多项式、误差分析、微分方程求解以及线性方程组的解法等。" 1. LU分解是线性代数中的重要工具，用于将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU，这在求解线性方程组时非常有用。 2. 辛普生（辛卜生）公式是一种数值积分方法，它通过梯形规则的推广来提高精度。对于一个函数在某个区间上的积分，辛普生公式可以给出较高的代数精度。而三点式可能是梯形规则的一个特例，用于简单区间积分。 3. 二次插值多项式通过三个点构建，拉格朗日插值公式利用这些点的坐标来确定多项式的系数，以尽可能精确地拟合数据。 4. 有效数字的概念涉及到数值近似，近似值与真值之间的关系决定了有效数字的数量。 5. 牛顿迭代法是一种寻找方程根的数值方法，通过构造函数的切线并让其与x轴相交来逼近根。给定的微分方程的牛顿迭代格式用于求解。 6. 差商是微分的一种离散形式，它衡量了函数值的变化率。 7. 计算方法关注的主要误差类型包括截断误差（理论计算过程简化导致）和舍入误差（数值计算过程中浮点数表示的局限性导致）。 8. 二分法用于寻找非线性方程的根，每次迭代都将可能的根的区间减半，经过n次迭代，误差限可以达到区间长度的2的-n次方。 9. 改进的欧拉公式是求解常微分方程初值问题的一种方法，它通过增加一次函数值的评估来提高精度。 10. Newton插值多项式通过给定的点来构建，二次Newton插值多项式中的x2系数可以通过Newton插值公式计算得出。 11. 高斯型求积公式是数值积分的高效方法，具有较高的代数精度，两点式高斯求积公式能精确积分某些五次或更低次的多项式。 12. 高斯顺序消元法是解线性方程组Ax=b的一种方法，要求A的顺序主子式非零，以确保解的存在性和唯一性。 13. 在数值计算中，优化表达式结构可以减少乘除法次数，避免不必要的舍入误差，例如通过分配律重写表达式。 14. 二分法逐步缩小根所在的区间，每一步都会将根的可能位置范围减半。 15. 梯形公式和辛卜生公式是数值积分的两种方法，辛卜生公式通常具有更高的代数精度，可以更准确地估算积分值。 16. 高斯—塞德尔迭代法用于求解线性方程组，迭代矩阵的谱半径影响迭代的收敛速度。 17. 二次牛顿插值多项式通过四个点构建，可以精确通过这三个给定点。 18. 高斯型求积公式具有较高的代数精度，可以更高效地积分多项式。 19. 辛普生求积公式适用于积分计算，特别是当函数在特定点的值已知时。 20. 三点式可能是另一种数值积分方法，类似于辛普生公式，但只使用三个等间距的点。 以上内容详尽介绍了计算方法中的各种概念和技巧，包括矩阵分解、数值积分、插值、微分方程求解和误差分析，这些都是数值计算方法的重要组成部分。