局部C*代数上的希尔伯特模张量积及其性质
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更新于2024-09-21
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本文探讨了在局部C*代数背景下，希尔伯特模的张量积。在Czechoslovak Mathematical Journal (第54卷，129期，2004年)的一篇文章中，作者定义并研究了这些特殊的希尔伯特模结构，其主要目的是扩展经典希尔伯特C*模块的概念。希尔伯特模允许内积值取自局部C*代数，这使得它们能够捕捉更广泛的数学现象。
Mallios在[7]和Phillips在[8]的工作中独立地首次引入了这种概念，他们证明了与经典希尔伯特C*模块类似的许多基本性质仍然适用于局部C*代数上的希尔伯特模。这些特性包括但不限于线性结构、正交分解、闭包、以及内积的性质。局部C*代数上的希尔伯特模的研究不仅限于理论层面，还因为它们在量子力学、非交换几何等领域具有重要的应用价值。
文章的核心内容涵盖了以下几个方面：
1. 定义与构造：首先，作者详细介绍了如何在局部C*代数的背景下定义希尔伯特模的张量积，这通常涉及到外张量积（exterior tensor product）和内张量积（interior tensor product），两种不同的构造方法。
2. 基本性质：接着，论文深入探讨了希尔伯特模张量积的基本性质，如它们是否保持封闭性、线性映射的延拓以及它们与C*代数的连续性关联。作者证明了这些性质在局部C*代数的框架下是普遍成立的。
3. 对比与推广：通过比较，作者强调了与经典C*代数希尔伯特模的相似性和差异，展示了将希尔伯特C*模块的理论扩展到局部C*代数环境下的必要性和有效性。
4. 应用领域：最后，文章提到了希尔伯特模在局部C*代数中的实际应用，可能涉及信号处理、量子信息处理或者非交换拓扑中的问题，这表明这些理论不仅有理论价值，也有着实际操作的意义。
这篇论文不仅为希尔伯特模理论提供了新的视角，也为理解更广泛的数学对象提供了一个有力的工具。它对于从事C*代数、非交换分析或量子数学的学者来说，是一篇不可或缺的参考资料。
x
p
, y
p
∈ E
p
; σ
E
qr
◦ σ
E
pq
= σ
E
pr
, p > q > r; σ
E
pp
= id
E
p
, and lim
←−
p
E
p
is a Hilbert A-
module with ((x
p
)
p
)((a
p
)
p
) = (x
p
a
p
)
p
and h(x
p
)
p
, (y
p
)
p
i = (hx
p
, y
p
i)
p
. Moreover,
lim
←−
p
E
p
may be identified with E.
As in the case of the C
∗
-algebras, the set H
A
of all sequences (a
n
)
n
with a
n
in A
such that
P
n
a
∗
n
a
n
converges in A is a Hilbert A-module with ((a
n
)
n
)b = (a
n
b)
n
and
h(a
n
)
n
, (b
n
)
n
i =
P
n
a
∗
n
b
n
. Moreover, for each p ∈ S(A), (H
A
)
p
= H
A
p
.
Given Hilbert A-modules E and F , a map T : E → F is adjointable if there is
a map T
∗
: F → E such that hT x, yi = hx, T
∗
yi for all x ∈ E and for all y ∈ F .
Moreover, T is a
- and A-linear continuous map. We denote by L
A
(E, F ) the set
of all adjointable maps from E into F and write L
A
(E) for L
A
(E, E).
For p ∈ S(A), since T
N
E
p
⊆ N
F
p
for all T ∈ L
A
(E, F ), we can consider the linear
map (π
p
)
∗
: L
A
(E, F ) → L
A
p
(E
p
, F
p
) defined by (π
p
)
∗
(T )
σ
E
p
(x)
= σ
F
p
(T (x)), T ∈
L(E, F ), x ∈ E.
We topologize L
A
(E, F ) via the seminorms ep(T ) = k(π
p
)
∗
(T )k, T ∈ L
A
(E, F ),
p ∈ S(A). In this way L
A
(E, F ) may be identified with lim
←−
p
L
A
p
(E
p
, F
p
) and
L
A
(E) becomes a locally C
∗
-algebra. The connecting maps of the inverse sys-
tem {L
A
p
(E
p
, F
p
)}
p∈S(A)
will be denoted by (π
pq
)
∗
, p, q ∈ S(A), p > q and
(π
pq
)
∗
(T
p
)
σ
E
q
(x)
= σ
F
pq
T
p
σ
E
p
(x)
, T
p
∈ L
A
p
(E
p
, F
p
), x ∈ E. For x ∈
E and y ∈ F we consider the rank one homomorphism θ
y,x
from E into F
defined by θ
y,x
(z) = yhx, zi. Evidently, θ
y,x
∈ L
A
(E, F ) and θ
∗
y,x
= θ
x,y
.
We denote by K
A
(E, F ) the closed linear subspace of L
A
(E, F ) spanned by
{θ
y,x
; x ∈ E, y ∈ F }, and write K
A
(E) for K
A
(E, E). Moreover, K
A
(E, F ) may be
identified with lim
←−
p
K
A
p
(E
p
, F
p
).
We say that the Hilbert A-modules E and F are unitarily equivalent if there is a
unitary element U in L
A
(E, F ) (namely, U
∗
U = id
E
and U U
∗
= id
F
).
3. Exterior tensor product
Let A and B be locally C
∗
-algebras, let E be a Hilbert A-module and let F be
a Hilbert B-module. The algebraic tensor product E ⊗
alg
F is a right-module over
A ⊗
alg
B in the obvious way: (x ⊗ y)(a ⊗ b) = xa ⊗ yb, x ∈ E, y ∈ F , a ∈ A, b ∈ B.
We consider the map h·, ·i: (E ⊗
alg
F ) × (E ⊗
alg
F ) → A ⊗
alg
B defined by
n
X
i=1
x
i
⊗ z
i
,
m
X
j=1
y
j
⊗ t
j
=
n
X
i=1
m
X
j=1
hx
i
, y
j
i ⊗ hz
i
, t
j
i.
In the same way as in the case of the Hilbert C
∗
-modules (see, for example, [6,
Chapter 4]), using [4, Theorem 6], we show that this map defines an inner product
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