矩阵流形上的优化算法
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更新于2024-07-18
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"Optimization Algorithms on Matrix Manifolds" 是一本书,由 P.-A. Absil、R. Mahony 和 R. Sepulchre 合著,探讨了在矩阵流形上的优化算法。这本书关注的是在几何约束条件下进行优化的问题,特别是那些解决方案局限于多面体的优化问题。矩阵流形优化算法相比传统的约束优化技术,具有更低的计算复杂性和更好的数值稳定性,因为它们直接在流形的低维度空间中操作,而不是在高维嵌入空间。
优化算法是计算机科学和数学中的一个重要分支,用于寻找函数的最小值或最大值。在传统的约束优化中,解决方案需要满足一系列条件,这可能导致在高维空间中搜索,增加了计算的复杂性。然而,矩阵流形上的优化方法提供了一种新的视角,将问题限制在特定的几何结构上,如对称矩阵、正定矩阵或正交矩阵等,这些结构有自然的低维表示。
书中的内容可能包括:
1. **矩阵流形基础**:介绍矩阵流形的基本概念,如欧氏空间中的子集,以及如何定义和操作这些流形。
2. **几何约束**:详细解释几何约束如何定义优化问题的解决方案空间,以及它们如何简化问题的结构。
3. **优化算法**:讨论在矩阵流形上运行的无约束优化算法,可能包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等,并解释它们如何适应流形的几何特性。
4. **应用实例**:展示这些算法在实际问题中的应用,可能包括控制系统、机器学习、信号处理、图像处理等领域。
5. **数值稳定性与效率**:分析在矩阵流形上优化算法的数值稳定性优势,以及如何减少计算复杂性。
6. **算法实现与代码示例**:可能包含实际实现这些算法的代码片段,帮助读者理解和应用理论知识。
7. **数学工具**:介绍必要的数学背景,如微分几何、线性代数和泛函分析,以便读者能够深入理解优化过程。
8. **未来研究方向**:探讨矩阵流形优化算法的最新进展和潜在的未来研究方向。
通过这本书,读者可以学习到如何在特定的几何结构上设计和分析优化算法,这对于解决实际工程问题和理论研究都具有重要的价值。此外,作者们为能够提供最终的印刷版书籍而被特别提及,表明他们在出版过程中扮演了积极的角色。
2018-07-25 上传
2023-06-28 上传
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2023-04-06 上传
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季秋暖阳
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