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二元函数插值方法探讨与MATLAB程序设计
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更新于2024-06-23
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本篇论文深入探讨了二元函数插值及其在计算机科学中的应用,特别是在程序设计中的具体实现。首先,作者回顾了二元函数插值的历史背景与发展过程,指出其在计算几何和辅助几何设计中的关键作用,尤其是在处理实际问题中的数值数据,尤其是当解析表达式难以获取或者过于复杂时,二元函数插值提供了有效的解决方案。 论文的核心部分详细介绍了二元函数插值的各种方法,包括一元Lagrange插值的扩展到二元情况。作者特别关注了在矩形区域上的分片插值技术,如分片双一次插值、分片不完全双二次插值以及分片双三次埃尔米特插值,这些方法有助于简化复杂函数的近似计算。通过这些方法,可以将复杂的二元问题分解为更易于处理的小块,提高了计算效率。 在程序设计方面,论文重点介绍了如何在MATLAB环境下实现这些插值算法。作者给出了MATLAB中的插值描述和相应的编程实例,以便读者理解并掌握这种方法。这不仅展示了理论知识的应用,也为实际工程问题的解决提供了一种实用工具。 总结部分回顾了研究的主要内容,强调了二元函数插值在现代科技中的重要性,以及它作为逼近理论和计算数学研究中的一个活跃分支。论文还提到了多元插值的广泛应用,尤其是在工程设计和科学模拟中的曲面拟合。 最后,致谢部分表达了作者对指导教师、同事和资助机构的感谢,而参考文献则列出了研究过程中引用的重要学术资源,进一步支持了论文的理论基础。 这篇论文提供了一个全面的视角,不仅涵盖了二元函数插值的基本原理,还涉及其实现细节和实际应用,对于学习和研究二元插值算法的学生和工程师具有很高的参考价值。
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2.2 二元函数插值的基本思想
二元函数分片光滑逼近是随着电子计算机的广泛应用而活跃起来的一个研
究领域,在应用上也很重要。这类问题一般提法是,给定了被逼近曲面或函数 u ��u
�x, y ��,或者是给定了 u(x,y)的一组离散的近似值
� �
iiij
yxuu ,�
,要求构造一个
比较简单的函数 U(x,y)去逼近 u(x,y)或离散值
ij
u
。若
� � � �� �
ijjiji
uyxuyxU 或,, �
,
则称为插值逼近或简称插值;通常由于
ij
u
总有观测误差 , 因 此 并 不 要 求
� �
ijji
uyxU �,
,只要近似满足就行,近似通过给定点的曲面逼近法,我们称为曲
面拟合法。我们主要介绍曲面插值法。
逼近二元函数最简单的函数类,自然是二元多项式。但实际问题往往给定的
点
� �
ijji
uyx ,,
很多,如果用一个整片多项式去逼近,则必然使得多项式次数很高,
效果并不好。因此类似于一元函数的分段多项式逼近或样条函数逼近,这里就采
用分片二元多项式逼近,并使不同曲面片之间光滑地联接起来。这种分片逼近的
方法应十分值得注意。
例如,在用有限元方法解弹性力学问题或其它数学物理问题时,首先要对定
解区域Ω 进行几何剖分,也就是将Ω 划分成一定的网格(或称单元)。当Ω 是
二维区域时,最基本的单元是三角形和四边形,也可以是曲边三角形和曲边四边
形。区域剖分后紧接着的问题是在这些小单元上选取一近似函数U(x, y)去代替
数学物理问题中的解u(x, y),如果选取U(x, y)使它与u(x, y)在小单元的某些点
的值相等,那么U(x, y)就称为u(x, y)在小单元上的插值函数。
由于计算机辅助几何设计的发展,又提出了另一类的曲面逼近问题。美国的
康斯提出了描述曲面的一种数学方法。一张曲面可以用若干个小的曲面片拼起来,
适当选择曲面片的方程,使它联接起来保持一定的光滑性;换句话说,康斯曲面
是由它的边界条件决定的,这又是另一类的插值问题。
插值函数类的选择,最简单的方法是二元双 k 次式,即选择函数类 G:
ji
k
j
k
i
ij
yxa
� �
� �0 0
(2.2.1)
为插值函数。
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