假设检验：统计推断的核心

"概率统计6.3 假设检验的基本概念" 假设检验是统计学中用于验证关于总体参数的假设是否成立的一种方法。在这个过程中，我们通常设定两个对立的假设，即零假设（H0）和备择假设（Ha）。零假设通常是默认的情况，而备择假设是我们想要挑战或证明的假设。例如，在产品质量检验中，零假设可能是产品的平均尺寸符合标准要求，而备择假设则可能是产品尺寸与标准存在显著差异。 在进行假设检验时，我们基于样本数据计算统计量，如t统计量或z统计量，然后将这个统计量与特定的临界值或p值进行比较。p值是假设检验中的关键概念，它代表了在零假设为真的情况下，观察到或更极端样本结果的概率。如果p值小于预先设定的显著性水平（α），我们通常会拒绝零假设，因为这表明观察到的结果非常罕见，不太可能仅仅由随机变异引起。相反，如果p值大于α，我们无法拒绝零假设，因为没有足够的证据支持备择假设。 显著性水平α是事先确定的阈值，常用的选择有0.05、0.01或0.1，它们分别对应于5%、1%和10%的显著性水平。选择的α值决定了我们对结果的敏感程度，较低的α意味着更严格的检验，更少的错误拒绝零假设（称为第一类错误，即假阳性）。 在上述螺钉长度的例子中，我们可能会想知道抽取的6件螺钉的平均长度是否显著偏离标准的32.5毫米。假设样本数据已经给出，我们首先计算样本均值和标准差，然后根据正态分布和样本大小计算t统计量。接着，我们会对比t统计量与t分布表中的临界值，或者计算对应的p值。如果p值小于α，我们拒绝零假设，认为这批螺钉的平均长度与标准有显著差异；如果p值大于α，我们则接受零假设，即产品尺寸满足标准要求。 假设检验是基于小概率原理，即认为在一次试验中出现小概率事件的可能性很小，如果出现了，就表明原假设很可能不正确。这种推理方式在统计决策中具有广泛的应用，从产品质量控制到医学研究，再到社会科学的各种领域。在进行假设检验时，我们需要合理选择显著性水平，理解p值的含义，并注意区分零假设被拒绝和备择假设被证实的区别，因为统计推断只能指出证据的强度，而不能证明绝对的真理。