2014计算方法期末考试重点：解三对角矩阵，Schur分解，插值与数值积分

"2014最后一次课1" 在本次课程中，主要涉及了矩阵算法相关的部分知识，但对一些内容降低了要求或者不作重点要求。以下是对这些知识点的详细说明： 1. **三对角矩阵的追赶法**：这是一种用于高效解决特定形式的线性系统的算法，适用于对角占优的三对角矩阵。它通过迭代的方式逐行或逐列求解，通常比一般矩阵的高斯消元法更快。 2. **Schur分解**：在矩阵理论中，Schur分解将任何复数矩阵分解为一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。对于正规矩阵，即满足自身共轭转置的矩阵，其Schur分解具有特殊的性质，例如所有元素都在实数线上，这对于理解和计算有重要意义。 3. **Gauss列主元消去法**：这是一种线性代数中的解线性方程组的方法，通过选择每列的最大元素并进行行变换使其成为该列的唯一最大值，然后消除该列下方的元素。这次课程降低了对此方法的要求，可能意味着学生只需了解其基本原理，而无需深入掌握细节。 4. **分段低次插值**和**三次样条插值**：这是数值分析中两种插值方法。分段低次插值是用多个低次多项式在不同的区间内对数据进行插值，而三次样条插值则是一种平滑的插值方法，确保相邻节点间的一阶导数和二阶导数连续。课程降低了对这两部分内容的要求，意味着学生不必深入研究。 5. **Hermite插值**：Hermite插值不仅要求数据点的值，还考虑数据点的导数值，以构造更精确的插值多项式。在这里，只要求掌握两点三次Hermite公式。 6. **Runge-Kutta方法**：这是一种常微分方程数值解的重要方法。课程中不要求计算方法的阶以及数值求积公式的求积余项，这意味着学生不需要深入理解这些高级概念。 7. **QR分解**和**Householder变换矩阵**：QR分解是将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的过程，广泛应用于求解线性方程组和特征值问题。Householder变换矩阵用于构造QR分解，通过反射将矩阵转化为更简单的形式。课程中要求理解Householder变换如何映射向量，但不要求具体计算。 8. **正交多项式**：在数值分析中，正交多项式是一类在特定区间上满足正交性质的多项式序列，例如Legendre多项式、Chebyshev多项式等。这里提到了记为φ(x)的正交多项式序列，要求学生了解其定义和基本性质。 9. **数值求解微分方程**：课程提到了Euler法和梯形法，这是两种常见的数值解微分方程的格式。Euler法是基本的显式方法，而梯形法则是一种隐式方法，通常能提供更好的精度。 10. **多项式插值**：课程中给出了一组多项式函数值，这可能与插值问题有关，要求学生利用这些数据构建合适的多项式近似。 这些知识点构成了这次课程的重点和非重点内容，学生应根据课程要求进行复习和准备。