MATLAB求解函数极值与作图解析

本文将介绍如何使用MATLAB求解函数的极值点以及最大值。MATLAB作为一个强大的数学计算工具，提供了方便的函数和命令来帮助我们分析和理解函数的特性。 首先，我们要明白函数的极值是函数在其定义域内局部最大值或局部最小值的点，通常这些点是函数的一阶导数为零的点，也称为驻点。通过二阶导数的符号，我们可以判断这些点是极大值还是极小值。 以例3.6.1为例，我们需要求解函数 \( y = \frac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + x + 1} \) 的极值。首先，我们使用 `sym` 命令建立符号变量并定义函数。接着，使用 `diff` 函数对函数进行一阶导数求解，找出驻点。在本例中，驻点为 x = 0 和 x = -2。然后，我们再求函数的二阶导数，并在驻点处求极限，以确定极值类型。在 x = 0 处，二阶导数为 -2，所以函数有极大值；在 x = -2 处，二阶导数为 2/9，所以函数有极小值。最后，我们可以通过 `limit` 函数计算出极值点处的函数值。 除了求极值，MATLAB 还可以帮助我们直观地理解函数的图形，通过 `ezplot` 函数画出函数曲线，如例3.6.2所示，这有助于我们更清晰地看到极值点的位置。 如果想要找到函数的最大值，我们可以转换思路，寻找函数负值的最小值。例如，对于函数 \( y = x^3 + x^2 + 1 \)，我们先求导得到 \( 3x^2 + 2x \)，然后找出导数为零的点，即 \( x = -\frac{2}{3} \) 和 \( x = 0 \)。为了找到最大值，我们可以构造一个新的函数 \( f(x) = -y \) 即 \( f(x) = -x^3 - x^2 - 1 \)，然后使用 `fminunc` 函数在指定范围内（例如，-3到3）搜索最小值，从而间接得到原函数的最大值。 在使用 `fminunc` 时需要注意，如果要求精确的结果，通常需要提供梯度信息。但在本例中，由于未提供梯度，MATLAB使用了一种线性搜索方法。运行结果可能会提示“Gradient must be provided for trust-region method; using line-search method instead.”，这意味着没有使用最优化的信赖域方法，而是采用了次优的线搜索方法来找到最小值。 总结起来，MATLAB 提供了多种工具，如 `diff`、`solve`、`limit`、`ezplot` 和 `fminunc`，帮助我们求解函数的极值和最大值，同时可视化函数图形，为理解和分析函数的特性提供了便利。在实际操作中，根据问题的具体情况选择合适的方法，能有效提高工作效率。