动态规划避免重复计算：从博丽灵梦的灵符修复说起

动态规划是一种运筹学和数学方法，用于解决决策过程中优化问题，尤其适用于那些可以划分为多个阶段的最优化问题。在本篇文章中，作者张惜今通过博丽灵梦维护结界的故事来阐述动态规划的基本概念。 问题背景是博丽灵梦需要通过灵力修复幻想乡的大结界，灵符是一个三角形，灵力只能沿特定路径向下移动，目标是找到在每层获得最大修复值的策略。最简单的方法是遍历所有可能的路径，逐层累加修复值，但这会导致大量重复计算。例如，当n=4时，需要计算2^(4-1)=8条路线，每条路线需两次加法和一次比较，总共24次，对于更大的n值，计算量会呈指数级增长。 文章指出，这种“天然呆”的算法问题在于它缺乏记忆，反复计算已知结果。动态规划的关键在于引入了“记忆”或“状态转移”思想，即计算到某一层时，不仅关注当前的修复值，还要考虑之前状态下的最优解。通过记录并利用之前层的最大和，避免重复计算，从而极大地减少了计算次数。 例如，对于n=100的情况，如果采用改进的动态规划方法，只需对每一步进行一次比较和一次加法，将问题分解为更小的子问题。对于n层的灵符，总共只需要计算(1+4)*4/2-1=9个点，显著降低了计算量，与简单遍历方法相比，计算复杂度由n^2降低至线性级别。 动态规划定义为一种求解多阶段最优化问题的高效算法，其特点包括： 1. **划分阶段**：将问题分解为多个独立的单阶段子问题。 2. **递归性质**：通过先前子问题的最优解来确定当前问题的最优解。 3. **记忆化**：避免重复计算，存储和利用中间结果。 4. **效率提升**：在大型问题中，动态规划比暴力搜索更有效率。 5. **局限性**：适用于满足以下条件的问题：问题的阶段结构明确，且存在重叠子问题和最优子结构。 通过博丽灵梦的故事，读者可以直观地理解动态规划如何通过减少冗余计算，提高问题求解的效率，尤其是在面临大规模数据和复杂决策过程时。这对于理解和应用动态规划算法具有实际意义。