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式中:
\boldsymbolξ=[xyzθψuvwqr]T,\boldsymbolξ=[xyzθψuvwqr]T,
f(ξ)=[I00M−1][J(η)μN(η,μ)],M1=[0M−1]f(ξ)=[I00M−1][J(η)μN(η,μ)],M1=[0M−1]
取非线性系统的输出量为位姿向量,AUV 非线性模型为:
{ξ˙=f(ξ)+g(ξ)τς=h(ξ){ξ˙=f(ξ)+g(ξ)τς=h(ξ)
且 h(ξ)=[x y z θ ψ]
T
,g(ξ)= M
1
g′。根据文献[13] Lie 导数相关内容可知:
ς˙=∂h∂ξ(f(ξ)+g(ξ))ς˙=∂h∂ξ(f(ξ)+g(ξ))
由此可得一阶 Lie 导数 L
f
h(ξ)、L
g
h(ξ)为:
{Lfh(ξ)=J(η)v≠0Lgh(ξ)=0{Lfh(ξ)=J(η)v≠0Lgh(ξ)=0
且 ς˙ς˙= L
f
h(ξ)。
同理根据二阶 Lie 导数的定义,可知:
ς¨=∂Lfh(ξ)∂ξ(f(ξ)+g(ξ)τ)ς¨=∂Lfh(ξ)∂ξ(f(ξ)+g(ξ)τ)
可得二阶 Lie 导数 L
f
2
h(ξ)、L
g
L
f
h(ξ)为:
⎧⎩⎨⎪⎪L2fh(ξ)=∂Lfh(ξ)∂ξf(ξ)≠0LgLfh(ξ)=∂Lfh(ξ)∂ξg(ξ)≠0{Lf2h(ξ)=∂Lfh(ξ)∂ξf(ξ)≠0LgLfh(ξ)=∂Lfh(ξ)∂ξg(ξ)≠0
引理 1
[13]
n 阶仿射非线性系统精确线性化有解的充分必要条件是,当且仅当存在一个标
量函数 h(x),使得如下系统:
{x˙=f(x)+g(x)uy=h(x){x˙=f(x)+g(x)uy=h(x)
在 x
0
∈U 点的相对阶为 n。
根据相对阶的定义可知,该模型的相对阶之和为:ρ
1
+ρ
2
+ρ
3
+ρ
4
+ρ
5
=10,其中
ρ
1
=ρ
2
=ρ
3
=ρ
4
=ρ
5
=2,即相对阶的和等于系统的阶数 10,由引理 1 得知,该模型可以进行精确反
馈线性化,并且有解。选择坐标变化如下:
⎧⎩⎨⎪⎪z1(ξ)=z2(ξ)=(h1(ξ),h2(ξ),h3(ξ),h4(ξ),h5(ξ))T(Lfh1(ξ),Lfh2(ξ),Lfh3(ξ),Lfh4(ξ),Lfh5(ξ))T{z1(ξ)=(h1(ξ),h2(ξ),h3(ξ),h4(ξ),h5(ξ))Tz2(ξ)=(Lfh1(ξ),Lfh2(ξ),Lfh3(ξ),Lfh4(ξ),Lfh5(ξ))T
将式(7)代入得:
{z˙1=z2z˙2=L2fh(ξ)+LgLfh(ξ)τ{z˙1=z2z˙2=Lf2h(ξ)+LgLfh(ξ)τ
令 U=L
f
2
h (ξ)+L
g
L
f
h (ξ)τ,那么在新坐标下实际控制输入 τ=(L
g
L
f
h(ξ))
-1
(U-L
f
2
h(ξ))。
可得到 AUV 线性化数学模型为:
2.2 AUV 轨迹跟踪控制器设计
基于反馈线性化的自适应可变参滑模控制器的设计框图如图 2 所示,从图中可以看出比
例积分观测器负责对未知的环境干扰进行观测,滑模控制器通过对 z
1e
、z
2e
建立误差滑模面,