基于MPC的AUV二维水平面轨迹跟踪控制，目标函数离散化过程公式推导

在基于MPC的AUV二维水平面轨迹跟踪控制中，目标函数通常是离散化的。下面是目标函数离散化过程的公式推导。

首先，我们需要将目标函数离散化，表示为一个有限步长的序列。假设我们在时间步$t$时要求AUV跟踪轨迹点$p(t)$，则我们可以将目标函数表示为：

$J=\sum\limits_{k=0}^{N-1}l_k(x_k,u_k)+m_N(x_N)$

其中，$x_k$表示系统状态，$u_k$表示控制输入，$l_k$是$k$时刻的时域开销函数，$m_N$是终端开销函数，$N$是预测时域长度。

接下来，我们需要对时域开销函数进行离散化。将时域开销函数$l_k$展开，可以得到：

$l_k(x_k,u_k)=\int_0^{T_s}L(x(t),u(t))dt$

其中，$T_s$是采样时间，$L(x(t),u(t))$是连续时间开销函数。

为了将$L(x(t),u(t))$转换为离散形式，我们可以使用欧拉方法进行数值积分。欧拉方法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内使用一个简单的数值方法来近似积分。在这里，我们可以使用前向欧拉法来将$L(x(t),u(t))$转换为离散形式。前向欧拉法的公式为：

$x_{k+1}=x_k+T_s\cdot f(x_k,u_k)$

其中，$f(x_k,u_k)$是系统动态方程。我们可以将欧拉方法应用于$L(x(t),u(t))$，得到：

$l_k(x_k,u_k)=\sum\limits_{i=0}^{N_s-1}L(x(t_i),u(t_i))\cdot T_s$

其中，$N_s=\frac{T}{T_s}$，$T$是预测时域长度。

最后，我们将目标函数表示为：

$J=\sum\limits_{k=0}^{N-1}\sum\limits_{i=0}^{N_s-1}L(x_k(i),u_k(i))\cdot T_s+m_N(x_N)$

其中，$x_k(i)$表示在第$k$个预测步长内的第$i$个采样点的状态。这个目标函数就是基于MPC的AUV二维水平面轨迹跟踪控制中，离散化的目标函数。