MATLAB实现线性规划：单纯形法程序详解

"本文介绍如何在MATLAB中使用线性规划方法，特别是通过单纯形法实现线性规划问题的求解。" 线性规划是一种优化技术，用于在满足一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。在MATLAB中，可以使用内置的优化工具箱来解决线性规划问题，但这里我们将关注如何手动实现单纯形法。 单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划的标准形式问题。标准形式包括： 1. 目标函数：最大化或最小化一组线性组合的决策变量。 2. 约束条件：这些是线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。 3. 非负约束：所有决策变量必须是非负的。 在MATLAB中，我们可以编写一个名为`ssimplex`的函数来实现单纯形法。首先，将原始问题转换为标准型，即添加松弛变量和人工变量，确保所有的不等式都转化为等于或小于的形式，并且所有决策变量都是非负的。然后，构建单纯形表，包含基础变量、非基础变量以及检验数。 在提供的`ssimplex`函数中，输入参数`A`表示线性不等式的系数矩阵，而`N`是初始基变量的下标。函数内部，首先初始化迭代次数`kk`，然后进入一个循环，直到找到最优解为止。循环内，检查是否已达到最优解（即检验数矩阵的最后一行全为非正），或者问题是否存在无界解。如果没有找到最优解，那么会进行转轴运算，更新基础变量和非基础变量，从而迭代求解。 转轴运算包括以下步骤： 1. 找到当前最大比值的检验数，对应于即将成为基础变量的非基础变量（`inb`）。 2. 计算每个基础变量与新基础变量的比例（`sita`），用于更新矩阵`A`。 3. 确定出基变量（`outb`），即比例最小的基础变量。 4. 更新`A`矩阵，将出基变量替换为新基础变量，保持基矩阵为单位阵。 这个过程会不断迭代，直至找到最优解。最后，函数返回最优解`sol`、最优值`val`以及迭代次数`kk`。 需要注意的是，该函数的一个局限是假设基矩阵始终为单位阵，这在实际应用中可能不成立，需要在后续的优化中改进。此外，MATLAB的内置函数`linprog`通常更为高效且稳定，适用于大多数线性规划问题。然而，自己实现单纯形法有助于理解算法的工作原理，对于教学和学习目的很有价值。