变指数权函数Sobolev空间中的紧致迹

"这篇论文研究了加权可变指数Sobolev空间$W^{1,p(x)}(Ω; v_0, v_1)$中的紧致迹问题，特别是当域Ω是足够规则且非紧边界的情况下。作者刘桥探讨了在函数$p(x)$满足Lipschitz连续性，$1<p^-\leq p^+<N$（其中$N\geq2$是空间维度）时，从$W^{1,p(x)}(Ω; v_0, v_1)$到边界上的$L^{q(x)}(∂Ω;w)$的紧致嵌入。主要关注的是，当$\essinf_{x∈Ω}\left(\frac{N-1}{q(x)}-\frac{N}{p(x)}+1\right)>0$时，在特定权重函数$v_0, v_1, w$条件下，迹算子的紧致性。" 本文是首发论文，涉及到的主要主题包括加权可变指数Lebesgue空间、加权可变指数Sobolev空间、紧致嵌入、紧致迹以及扩展算子。在偏微分方程和具有$p(x)$增长条件的变分问题的研究中，了解Sobolev空间$W^{m,p(x)}(Ω)$到Lebesgue空间$L^{q(x)}(Ω)$的嵌入以及Sobolev空间到边界上的迹算子是非常重要的。 数学分类号按照2000年的标准，可以归类为46E30（Banach空间的函数空间），46E35（无穷维Banach空间的结构和拓扑），26D10（不等式的应用）。 文章开始于引言，介绍了问题的背景和重要性。在加权可变指数Sobolev空间的研究中，通常会考虑域Ω的边界特性对嵌入性质的影响。作者通过分析函数$p(x)$和$q(x)$的性质，以及权重函数$v_0, v_1, w$的作用，证明了在一定条件下，从$W^{1,p(x)}(Ω; v_0, v_1)$到$L^{q(x)}(∂Ω;w)$的嵌入是紧致的。这涉及到对空间中函数集中元素的收敛性的深入理解，特别是在非紧边界上。 证明这类紧致性通常需要利用到变分分析、泛函分析和调和分析的方法，如Fatou引理、弱收敛性和Hölder不等式。此外，可能还需要考虑边界条件对函数空间结构的影响，以及如何构造适当的扩展算子以实现从边界到整个域的连续映射。 论文的其余部分可能详细地展示了这些理论结果的推导过程，包括关键定理的陈述、证明以及可能的反例或特殊情况的讨论。此外，可能还会有相关的应用示例，展示这些理论在解决实际问题中的作用，比如在解决非线性椭圆型偏微分方程、变分问题或者流体力学等领域的问题。 这篇论文对于理解加权可变指数Sobolev空间的性质，特别是在非紧域上的应用，提供了重要的理论贡献，并为后续研究提供了坚实的基础。