HDU动态规划：46题实战分析与背包问题详解

动态规划是计算机科学中解决优化问题的一种重要算法策略，特别是在处理具有重叠子问题和最优子结构特性的算法中。在HDU竞赛中，动态规划被广泛应用在多种问题中，例如贪心算法的变形、背包问题、0-1背包决策、以及序列问题如最大连续子序列和最大矩形面积计算等。 1. Robberies (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955) 这是一道关于抢劫的动态规划题目，涉及背包问题的变种。通常背包问题中，目标是选择物品以最大化价值，但在这个问题中，你需要考虑的是在给定一定被捕概率的前提下，如何选择抢劫对象来获取最大收益。初始状态设置为抢劫0块大洋的概率为1，其他情况设为-1（代表被捕）。关键在于理解概率的乘法规则，正确状态转移方程是f[j] = max(f[j], f[j - q[i].money] * q[i].v)，而非简单地将概率视为独立事件的概率之和。 2. 最大报销额 (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864) 这个问题属于0-1背包问题，决策者需要决定是否报销每张发票，目标是最大化报销金额。状态转移方程为f[j] = max(f[j], f[j-1] + v[i])，表明如果不报销第i张发票，最大报销额与前j-1张相同，若报销，则考虑两种情况下的较大值。 3. 最大连续子序列 (1231 & 1003) 在这两个问题中，你需要找到数组中具有最大和的连续子序列。状态方程分别可以表示为： - 最大子序列和问题：`sum[i] = max(sum[i-1] + a[i], a[i])` - MaxSum问题：通过迭代更新当前连续子序列的最大和，当遇到负数时，重新开始计算。 4. LargestRectangle (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1506) 该问题是求解二维矩阵中的最大矩形面积，通过动态规划求解更高效。关键在于定义状态，例如对于每个木板，其面积由高度和范围决定，然后遍历矩阵，利用左边界特性简化搜索过程。状态转移涉及到比较当前高度与左侧的高度，以确定新的左边界，然后从这个边界开始迭代计算最大矩形面积。 通过这些例子，我们可以看出HDU竞赛中的动态规划题目涵盖了从基础的背包问题到复杂的数据结构优化问题，它们都强调了对递推关系的理解、状态设计以及搜索策略的优化。熟练掌握动态规划思想和技巧，能够帮助参赛者在这些挑战性问题中取得好成绩。