SymPy：符号运算库与欧拉恒等式演示

SymPy是一个强大的符号计算库，专为Python设计，旨在提供完整的计算机代数系统(CAS)功能，同时保持代码简洁、易读和易于扩展。作为Python编程中的数学工具，SymPy支持符号运算、表达式变换和化简，以及高级数学概念如微分、积分和方程求解。 1. **符号运算与表达式变换**: `simplify()`函数是SymPy中的关键工具，用于简化数学表达式。它内部调用了一系列复杂的表达式变换算法，能处理诸如`(x+2)**2 - (x+1)**2`这样的例子，通过化简得到结果`2*x + 3`。值得注意的是，表达式的化简并非简单的任务，同一表达式可能有不同的简化方式，取决于应用的目的。 2. **欧拉恒等式与虚数单位**: SymPy中的`E`代表自然常数`e`，`I`代表虚数单位，而`pi`代表圆周率。欧拉公式`e^(iπ) + 1 = 0`展示了这五个基本数学常数之间的神奇关系。在SymPy中，可以直接使用这些符号进行计算，比如`E**(I*pi)`会得到预期的复数结果。 3. **数学表达式处理**: SymPy不仅用于计算，还能处理更复杂的数学公式。例如，使用`expand()`函数可以展开表达式，如果设置`complex=True`，则会将复数表达式分解为实部和虚部。如`E**(I*x)`经过`expand()`处理后，会得到`exp(I*x)`，但未展开到实际的三角函数形式。 4. **符号与数值**: 在SymPy中，`symbols()`函数用于创建符号变量，如`x`, `y`, `z`, `t`等，它们是数学表达式的基础。同时，还提供了创建特定类型的符号，如`integer=True`创建的整数符号`k`, `m`, `n`。此外，SymPy能够处理符号函数，如`Function`类的实例`f`, `g`, `h`。 5. **微分与方程**: SymPy支持微分运算，这对于解决微分方程和进行微积分分析非常重要。此外，SymPy还具备方程求解的能力，可以处理各种类型的方程式，包括线性方程、非线性方程甚至是微分方程。 SymPy是Python中的符号计算神器，通过符号表示、表达式处理、高级数学概念的实现，为程序员和数学爱好者提供了强大的工具，能够处理从简单到复杂的数学问题，极大地扩展了Python在数学分析领域的应用能力。