非线性方程求解：二分法与牛顿迭代法实践

该资源是关于使用牛顿法和二分法解决非线性方程求根问题的实践教程，提供了具体的代码实现和运算结果。实验涵盖了二分法、牛顿迭代法以及弦截法三种算法，通过编写和调试程序来求解方程 f(x) = x^2 - 5 = 0 的根。 1. **二分法** 是一种简单的数值方法，用于在已知函数 f(x) 在某一区间 [a, b] 内存在零点（即 f(a) * f(b) < 0）的情况下找到该零点的近似值。算法的核心思想是不断将包含零点的区间减半，直到区间长度小于预设的精度 delta。在提供的代码中，`bisect.m` 函数实现了这一过程，最终得到的 `c` 为零点的近似值，`err` 表示误差，`yc` 为在 `c` 处的函数值。通过调用 `bisect('fff',-3,2,0.0001)` 和 `bisect('fff',-2,3,0.0001)`，我们分别找到了 f(x) = x^2 - 5 在区间 [-3, 2] 和 [-2, 3] 内的两个根，结果分别为 -2.2360 和 2.2360。 2. **牛顿迭代法** 是一个更快速的求解方程根的迭代方法，基于泰勒展开的线性逼近。该方法通过不断的迭代更新逼近零点。在代码中，`newton.m` 函数实现了牛顿迭代法，其中 `p0` 为初始猜测值，`f` 和 `df` 分别为函数和其导数，`delta` 和 `epsilon` 为停止条件，`max1` 为最大迭代次数。每一步迭代，新的猜测值 p1 计算为 p0 减去 f(p0) 除以 f'(p0)，直到满足停止条件（误差小于 delta 或相对误差小于 relerr 或函数值的绝对值小于 epsilon）。实验中没有给出具体例子，但牛顿迭代法通常比二分法更快地收敛到零点，尤其是在函数在零点附近变化平缓时。 3. **弦截法**（也称为 secant method），与牛顿迭代法类似，但不直接使用导数，而是使用两点的斜率来逼近零点。这个方法对于那些难以求导或导数不易计算的函数更有优势。尽管在给定资源中没有提供弦截法的具体代码，但其基本思路是在两点 (x0, f(x0)) 和 (x1, f(x1)) 之间构造一条直线，然后寻找这条直线与 x 轴的交点作为下一个猜测值 x2。 实验步骤包括编程、调试、运行和记录，旨在让学生深入理解这些数值方法的工作原理，并能实际应用。实验总结部分要求学生根据实验结果撰写报告，以加深对方法的理解和分析。 该资源为学习者提供了实际操作非线性方程求解的实践经验，通过二分法、牛顿迭代法等方法，不仅能够学习理论知识，还能提升编程和问题解决能力。