编写程序，分别用二分法和牛顿迭代法求解方程x3 – 3x – 1 = 0在x = 2附近的实根，要求计算精确到小数点后7 位数字为止，并将求出的近似结果与理论值2cos20 比较误差大小。 设二分法的初始迭代区间为 [1, 3]，牛顿迭代法的起点为4。

首先，我们需要编写两个函数，一个使用二分法（Bisection Method），另一个使用牛顿迭代法（Newton's Method），然后我们将在主函数中分别计算它们的近似解，并与理论值进行比较。

对于二分法：

#include <cmath>
#include <iomanip>

double bisection(double a, double b, double epsilon, double function(double x)) {
    while ((b - a) > epsilon) {
        double c = (a + b) / 2.0;
        if (function(c) * function(a) <= 0) {
            b = c;
        } else {
            a = c;
        }
    }
    return (a + b) / 2.0;
}

double theoretical_value() {
    double theta = acos(1/sqrt(3));  // 角度转换为弧度
    return 2 * cos(theta);  // 理论值2cos(20°)
}

double calculate_with_bisection() {
    double start = 1.0, end = 3.0, precision = pow(10, -7);
    return bisection(start, end, precision, [=](double x) { return pow(x, 3) - 3 * x - 1; });
}

接下来是牛顿迭代法：

double newton_raphson(double initial_guess, double epsilon, double function(double x), double derivative(double x)) {
    double current_guess = initial_guess;
    while (fabs(function(current_guess)) > epsilon) {
        current_guess -= function(current_guess) / derivative(current_guess);
    }
    return current_guess;
}

double calculate_with_newton() {
    double start = 4.0, precision = pow(10, -7);
    return newton_raphson(start, precision, [=](double x) { return pow(x, 3) - 3 * x - 1; }, [](double x) { return 3 * pow(x, 2) - 3; });
}

最后，在主函数中比较结果并输出误差：

int main() {
    double root_bisection = calculate_with_bisection();
    double root_newton = calculate_with_newton();

    std::cout << "Root found using Bisection method: " << std::setprecision(7) << root_bisection << ", Error from theoretical value: " << std::abs(root_bisection - theoretical_value()) << std::endl;

    std::cout << "Root found using Newton-Raphson method: " << std::setprecision(7) << root_newton << ", Error from theoretical value: " << std::abs(root_newton - theoretical_value()) << std::endl;

    return 0;
}

运行此程序，你会得到两个解的近似值以及它们与理论值的相对误差。