最长公共子序列(LCS)问题详解与动态规划实现

"最长公共子序列问题的解答与程序实现" 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）是计算机科学中经典的字符串比较问题，主要应用于文本编辑距离计算、生物信息学序列比对等领域。LCS问题要求找到两个序列的最长子序列，这个子序列并不需要是连续的，但必须保持原序列的相对顺序。 在描述的算法中，采用了动态规划的方法来解决LCS问题。动态规划策略的核心是构建一个二维数组C[i][j]，其中C[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。数组C通过以下方式填充： 1. 如果X[i]=Y[j]，那么C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1，因为在这种情况下，X[i]和Y[j]都是LCS的一部分。 2. 如果X[i]不等于Y[j]，则C[i][j]取C[i-1][j]和C[i][j-1]中的较大值，这意味着LCS可以从两个子序列中的任意一个扩展。 为了能够回溯并找出所有的LCS，还需要一个二维数组b[i][j]，它记录了C[i][j]的值是如何得到的，用于指导搜索方向： - b[i][j] = 1 表示X[i]和Y[j]相等，LCS沿对角线方向延伸。 - b[i][j] = 2 表示C[i][j]是从C[i-1][j]得到的，应向上搜索。 - b[i][j] = 3 表示C[i][j]是从C[i][j-1]得到的，应向左搜索。 - b[i][j] = 4 表示C[i][j]既可向上也可向左扩展，需要在这两个方向上分别进行搜索。 在找到C[m][n]的值后，可以通过回溯b数组来生成所有的LCS。在递归函数Find_All_LCS中，如果当前子序列长度小于1，则返回上一层。如果子序列长度等于C[m][n]，则找到了一个LCS并输出。否则，根据b[i][j]的值选择相应的搜索方向。当b[i][j]=1时，说明X[i]是LCS的一部分，将其添加到辅助数组，并增加LCS长度。在递归过程中，需要进行回溯以寻找其他可能的LCS路径。 这个问题的解决方案是通过动态规划计算LCS的长度，然后利用回溯策略找到所有可能的LCS。这种方法的时间复杂度是O(m * n)，其中m和n分别是两个输入序列的长度。证明其时间复杂度的关键在于“会计方法”，即展示每个单元格C[i][j]的计算只依赖于之前单元格的值，不会重复计算。