EM算法推导：凸优化与概率估计详解

"本资源主要介绍了EM算法（Expectation-Maximization, 期望最大化算法）的推导过程及其在凸优化与概率论中的应用。EM算法是一种常用的无完全数据情况下的参数估计方法，尤其适用于隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）等统计建模场景。在推导过程中，观测变量Y被表示为随机变量，而待估计的参数θ包括π（观测状态0和1的概率）、p（观测到1时处于状态1的概率）和q（观测到0时处于状态1的概率）。 算法的关键步骤包括： 1. 将观测变量和参数条件概率表达为所有可能的状态z的加权和，即$P(y|θ)=\sum_z P(z|θ)P(y|z,θ)$，其中每个状态z的贡献由其对应的条件概率决定。 2. 极大似然估计的应用，通过最大化观测数据Y条件下参数θ的概率，即$P(Y|θ)=\prod_{i=1}^N \left[ \pi p y_i(1-p) + (1-\pi) q y_i(1-q) \right]^{1-y_i}$，这里N表示样本数量。 在讨论中，还提到了概率论的基础概念，如指数族分布、充分统计量和广义线性模型（GLM）。这些内容为理解EM算法提供了数学背景，如理解指数族分布对于找到合适的概率模型至关重要。同时，凸集和凸优化的概念也被引入，用来解释最小二乘问题以及支持向量机（SVM）的理论基础。具体来说，凸集指的是满足特定线性关系的集合，而凸优化则是寻找在这个集合内部使某个函数达到最大或最小值的问题。通过凸优化的思想，可以确保求解过程的全局最优性。 在几何学上，资源介绍了仿射集、仿射包、凸集和凸包的概念，以及它们之间的关系，如仿射集是凸集的一种特殊形式，且凸包是描述集合凸性的关键概念。此外，锥、半正定矩阵集、超平面和半空间等概念也有所涉及，这些都是优化问题中常用到的几何工具。 通过学习这部分内容，读者能够掌握EM算法的数学基础，理解其在实际问题中的应用，并能运用凸优化的理论解决更复杂的数据分析和机器学习问题。"