主成分分析与正交旋转

"该资源主要介绍了主成分分析（PCA）中的正交旋转方法，这是数据降维和特征提取的一种常用统计技术。PCA旨在通过线性变换将一组可能相关的变量转换为一组线性不相关的主成分，以减少数据的复杂性。正交旋转是PCA过程中的一个重要步骤，用于优化主成分的方向，以便于更好地解释和理解数据的主要结构。" 正交旋转公式描述的是如何调整主成分的方向，使得新的主成分之间互为正交，即角度为90度。公式展示了如何通过旋转原主成分来得到新的正交主成分。其中，`θ` 表示旋转角度，`x` 和 `y` 分别代表原始主成分和旋转后的主成分。 在主成分分析中，"总体的主成分"是基于整个数据集的统计特性计算得出的，而"样本的主成分"则是在有限的样本观测上估计的。在第7.2节中，介绍了如何定义和导出主成分，以及主成分的性质。首先，主成分是由原始变量的协方差矩阵或相关矩阵确定的，通过求解该矩阵的特征值和对应的特征向量来找到。最大的特征值对应的特征向量定义了第一主成分，它拥有最高的方差，意味着包含了最多的信息。接着，通过求解次大的特征值和特征向量可以找到第二主成分，以此类推，每增加一个主成分，都是在保持与其他主成分正交的前提下，最大化新主成分的方差。 主成分分析的主要目的有两个：一是降维，即将高维数据压缩到较低的维度，降低计算复杂性和存储需求；二是解释，通过主成分的系数，我们可以理解原来多维数据的主要模式和趋势。正交旋转的目的是使得主成分更容易被解释，因为当主成分互相正交时，它们在数据分析和解释上通常是独立的，这有助于简化模型并增强模型的解释性。 在实际应用中，正交旋转如方差最大化旋转（Varimax）、 Quartimax 旋转、Promax 旋转等，都是为了使各个主成分的载荷（loadings）更集中，从而提高解释性。例如，Varimax旋转是最常用的正交旋转，它试图最大化每个主成分上的载荷差异，使每个变量主要载荷在一个主成分上，而其他主成分上的载荷尽可能小，这样每个主成分就能清晰地对应某一组变量。 主成分分析是一种强大的工具，尤其在处理高维数据和发现数据内在结构时。通过正交旋转，我们可以优化主成分，使得数据的分析结果更直观，更易于理解和应用。在进行主成分分析时，理解并正确应用正交旋转对提升数据分析的效果至关重要。