优化筛选法：杭电ACM中的素数判断与求解策略

"这篇资源是关于ACM程序设计的，主要讨论了筛选法在求解素数问题中的应用，特别是杭州电子科技大学刘春英教授的讲解。内容涵盖了从朴素算法到筛选法的优化，以及如何利用筛选法求解一系列素数的题目。" 在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，高效地解决数学问题是非常重要的，尤其是涉及素数判断和求解素数序列的题目。资源中的代码和讲解主要关注了两个问题：一是判断一个数是否为素数，二是找出一定范围内的所有素数。 首先，最简单的素数判断算法是通过遍历从2到n-1的所有整数，如果n能被其中任意一个整数整除，则n不是素数。然而，这个方法效率较低，尤其当n很大时。为优化这一算法，可以将判断范围限制到n的平方根，因为一个大于n平方根的因子必然对应一个小于n平方根的因子，这样可以减少一半的检查次数。 进一步优化，我们可以引入筛选法（Sieve of Eratosthenes），这是一种用于找出所有小于等于给定数n的素数的算法。筛选法的基本思想是从最小的素数2开始，将它的所有倍数标记为非素数。接着，找到下一个未被标记的数（在这个例子中是3），再次将其所有倍数标记。以此类推，直到所有小于等于n的数都被处理。最后，未被标记的数就是素数。 在提供的代码中，首先初始化一个大小为n+1的数组a，所有元素初始值为0，表示假设它们是素数。然后，从2开始，如果a[i]为0（表示i是素数），则将i的所有倍数（从i+i开始，每次加i）标记为1（表示非素数）。这个过程一直持续到所有小于等于n的数都被处理。最后，数组a中值为0的索引对应的数就是素数，按顺序输出即可。 筛选法不仅解决了单个素数判断的问题，而且能够有效地找出一段范围内的所有素数，避免了重复计算，大大提高了效率，尤其适用于ACM这类对时间复杂度有严格要求的编程竞赛。