"数值分析整理版试题及答案.pdf"
这篇资料涉及的是数值分析中的插值理论,主要讨论了两种类型的二次插值方法:Lagrange插值和Newton插值。在数值分析中,插值是一种重要的技术,用于构造一个多项式函数,使得这个多项式在给定的一系列离散点上与原函数的值相匹配。
首先,Lagrange插值是通过Lagrange基函数来构建插值多项式的。在例1中,给定了三个点(-1, -3), (1, 0), (2, 4),Lagrange基函数分别是:
l0(x) = (x - 1)(x - 2)
l1(x) = (-1)(x - 2)/(x0 - x2)(-1 - 1)(-1 - 2)
l2(x) = (x + 1)(x - 1)/(x - x0)(1 - x2)
利用这些基函数,构建的Lagrange二次插值多项式L2(x)可以通过权重系数yk乘以对应的基函数lk(x)求和得到,最终得到的L2(x)为:
L2(x) = -1/2(x - 1)(x - 2) + 4/3(x + 1)(x - 1)
接着,讨论了Newton插值,它基于函数的一阶和二阶有限差分。例1中给出了各个点的一阶和二阶均差,然后利用这些均差构建了Newton二次插值多项式P2(x),其形式为:
P2(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
在插值问题中,最佳平方逼近(Least Squares Approximation)是寻找一个多项式,使其在给定区间上的平方误差最小。在例2中,目标是找到函数f(x) = x^2 + 3x + 2在[0, 1]区间上关于基函数{1, x}的最佳平方逼近多项式。这里的基函数是φ0(x) = 1和φ1(x) = x,通过计算内积,可以建立线性系统来求解最佳平方逼近多项式。
总结来说,这份资料涵盖了数值分析中的基本概念,如Lagrange插值、Newton插值以及最佳平方逼近,这些都是理解和解决实际工程问题中的关键工具。对于计算机科学(cs)领域的学生或从业者,掌握这些内容有助于解决涉及数值计算的问题。