卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波详解

"这篇文档是关于卡尔曼滤波原理的详细讲解，涵盖了基本的卡尔曼滤波器以及扩展卡尔曼滤波器的概念和应用。它由Greg Welch和Gary Bishop撰写，由姚旭晨翻译成中文，主要讨论了如何使用递归方法解决离散数据线性滤波问题，尤其在导航系统中的应用。文档提供了理论介绍、实践方法，包括一个相对简单的实例和相关参考文献。" 卡尔曼滤波是一种基于统计学的递归估计算法，由Rudolf E. Kalman在1960年提出，主要用于处理离散时间序列数据，以获得对动态系统状态的最佳估计。它结合了系统的先验知识（模型）和实际观测数据，通过数学公式进行迭代计算，使得估计的均方误差最小，从而提高估计精度。 在卡尔曼滤波器中，系统状态用向量x表示，通常是在n维空间中。状态随时间变化遵循随机差分方程，如式(1.1)所示，其中x_k 表示在时间k的状态，A是状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u_k是控制输入，w_k-1是零均值的随机噪声项，反映了过程不确定性。 滤波器的工作流程分为两个主要步骤：预测（预测下一步状态）和更新（利用新观测调整预测）。预测阶段，根据上一步的状态和动态模型来预测下一次状态；更新阶段，结合实际观测值，利用观测模型来校正预测状态，使其更接近真实状态。 扩展卡尔曼滤波（EKF）是卡尔曼滤波在非线性系统中的应用。当系统模型或观测模型是非线性时，无法直接应用标准的卡尔曼滤波公式。EKF通过线性化非线性函数来近似处理，然后继续使用卡尔曼滤波的框架。尽管EKF在许多实际应用中取得了成功，但它线性化的近似可能会导致性能下降，特别是在非线性非常强的情况下。 卡尔曼滤波器及其扩展版本在众多领域有广泛应用，如航空航天导航、自动驾驶、传感器融合、信号处理等。文章引用了一些经典的参考书籍，如[Sorenson70, Maybeck79, Gelb74, Grewal93, Lewis86, Brown92, Jacobs93]，这些书籍深入探讨了卡尔曼滤波的理论和实现细节，对于深入理解和应用卡尔曼滤波具有重要价值。