动态规划：多阶段决策的优化策略

动态规划是一种在多阶段决策问题中寻找最优解决方案的方法，它强调决策的动态性和阶段关联性。这些问题通常涉及一系列相互依赖的子问题，每个阶段的决策不仅取决于当前状态，还会影响后续阶段。动态规划不是一种特定的算法，而是设计策略的一种通用框架，针对不同的最优化问题，需要根据问题特性制定独特的解题策略。 概念引入部分展示了动态规划在现实生活中的应用实例，例如一个活动过程被划分为多个阶段，每个阶段都需要做出决策以优化整体效果。决策的选择不是随意的，而是由当前状态驱动，并对未来阶段产生影响，最终形成一个决策序列和活动路线。多阶段决策问题的定义强调了这个问题的结构特征：每个阶段的决策相互关联，形成一个连贯的过程。 动态规划的基本思想是通过将大问题分解为子问题来求解，类似于分治法，但关键区别在于子问题之间的依赖性。在分治法中，子问题通常是独立的，可能导致大量重复计算。动态规划通过预先存储子问题的解，避免了重复劳动。这种方法利用一个表格（称为“状态空间”或“记忆表”）来跟踪已经解决的子问题的结果，确保每个子问题只计算一次，从而显著提高了效率。 多阶段决策问题的核心概念包括： 1. 阶段划分：问题被分解成多个阶段，每个阶段都有一个决策需要作出。 2. 决策依赖：一个阶段的决策不仅影响当前状态，还影响下一个阶段。 3. 决策序列：决策的顺序决定了整个过程的路径。 4. 最优性质：目标是找到使整个过程达到最佳结果的决策序列。 虽然动态规划的具体实现方法各异，但它们共享的核心是构建和填充状态空间，逐步求解子问题并保持最优解的状态。这种方法广泛应用于诸如最短路径问题（如Dijkstra算法）、背包问题、最长公共子序列等复杂问题的求解中。通过动态规划，可以找到这些问题的高效解决方案，同时确保了解决过程中避免不必要的计算。