动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解

本文主要探讨的是最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题的解决方案，以及如何使用动态规划的方法来求解这个问题。最长公共子序列是指在两个给定序列中找到的最长的相同字符序列，但允许这些字符在原序列中的相对位置不同。题目要求设计一个算法来找出两个序列的所有LCS，并分析其最坏情况下的时间复杂度。 算法的核心思路是利用动态规划中的二维数组C[i][j]，其中C[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。数组C的构建遵循以下规则： 1. 如果X[i] = Y[j]，则C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1。 2. 如果X[i] ≠ Y[j]，C[i][j]取C[i-1][j]和C[i][j-1]中的较大值。 3. 进一步使用二维数组b[i][j]来记录C[i][j]的计算方式，以便在寻找LCS时确定搜索方向。b[i][j]的值可以是1（对角线）、2（向上）、3（向左）或4（向上或向左）。 算法的关键步骤是递归地调用Find_All_LCS函数，它会根据b[i][j]的值来决定是否继续向下、向左或向对角线搜索。在每次递归调用中，都会检查当前子序列的长度和C[i][j]的关系，若等于则输出一个LCS，否则继续根据b[i][j]探索可能的LCS。特别地，当b[i][j]为4时，需要同时沿着两个方向进行搜索，以确保不遗漏任何潜在的LCS元素。 整个算法的时间复杂度可以通过“会计方法”证明为O(mn)，其中m和n分别是输入序列X和Y的长度。这是因为每个位置(i, j)只被访问一次，且在最坏情况下，需要遍历整个二维数组C。这种方法有效地利用了问题的最优子结构特性，避免了不必要的重复计算。 这篇文章提供了求解最长公共子序列问题的具体算法实现，包括动态规划数组的设计、搜索方向的确定以及如何通过回溯法找出所有可能的LCS，这对于理解和解决此类问题具有很高的参考价值。